Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 14, 37, 57, 40, 10.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 88?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,2, 0,15

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 2 €. Ganas 6 € con probabilidad 0,2 y 40 € con probabilidad 0,05; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €2€6: p = 0,2€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 452 y 582 h? Da P como número decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 582

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 5 % de los datos (el percentil 5).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 21 elementos tiene media 86 y desviación típica s = 10. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 21x̄ = 86s = 1090%t(20) = 1,725

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 24. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?

σ = 24E = 0,595%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 36 estudiantes tiene una nota media de 119,1 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 4n = 36

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 80 frente a H₁: μ < 80 con α = 0.05 y una muestra de 64; se sabe que la desviación típica es 20. En realidad la media es 73. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.

μ₀ = 80μ = 73σ = 20n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 5Σx = 30Σy = 63Σx² = 220Σy² = 917Σxy = 446

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 64?

n = 6ŷ = 64

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 19,5

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 158/5 = 31,6

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−17,6)² + 5,4² + 25,4² + 8,4² + (−21,6)² = 1521

Desviación típica

s = √(1521/4) = 19,5

Respuesta

s = 19,5

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,9332

Tipificar

z = −1,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Respuesta

P = 0,9332

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,928

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,2 + 5·0,15 = 2,85

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,2 + 25·0,15 = 10,05

Varianza

Var(X) = 10,05 − 2,85² = 1,928

Respuesta

Var(X) = 1,928

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = 1,2 €

Resultados netos

G: 4 (p = 0,2), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,75)

Valor esperado

E(G) = 4·0,2 + 38·0,05 − 2·0,75 = 1,2 €

Respuesta

E(G) = 1,2 €

Un valor positivo significa que ganas dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8647

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Área entre ambos valores

P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647

Respuesta

P = 0,8647

6.Distribución normal

Respuesta: x = 22,13 min

z del percentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Vuelta a x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Respuesta

x = 22,13 min

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 82,24

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margen de error

E = 1,725·10/√21 = 3,764

Intervalo

86 ± 3,764 → [82,24, 89,76]

Respuesta

límite inferior = 82,24

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 8852

Despejar n

n = (1,96·24/0,5)² = 8851

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 8852

Respuesta

n = 8852

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,35

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Estadístico de contraste

t = (119,1 − 120)/0,6667 = −1,35

Respuesta

t = −1,35

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: 1 − β = 87,6 %

Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media muestral crítica

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 80 − 1,645·2,5 = 75,89

z con la media verdadera

z = (75,89 − 73)/2,5 = 1,155

Potencia

potencia = P(Z < 1.155) = 87.6%

1 − β = 87,6%

Respuesta

1 − β = 87,6%

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9687

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 446 − 30·63/5 = 68

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 917 − 63²/5 = 123,2

Coeficiente de correlación

r = 68/√(40·123,2) = 0,9687

Respuesta

r = 0,9687

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 4,444

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 350/6 = 58,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 105

Recta de regresión

b = 105/17,5 = 6

a = 58,33 − 6·3,5 = 37,33

ŷ = 37,33 + 6·x

Despeja x

x = (64 − 37,33)/6 = 4,444

Respuesta

x = 4,444

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