Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 48, 52, 19, 45, 58.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 5. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 97,5?
μ = 100σ = 5x = 97,5
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 2 personas entre un grupo de 6? El orden no importa.
n = 6k = 2
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 8 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 1?
n = 8p = 0,5k = 1
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 420 y 522 h? Da P como número decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 522
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 15 elementos tiene media 37,5 y desviación típica s = 20. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 15x̄ = 37,5s = 2099%t(14) = 2,977
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 15 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 7,3 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 14, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 5,629 y el 2,5 % queda por encima de 26,119.
n = 15s = 7,3 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
9 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −4,25 y la desviación típica de las diferencias es 7,5. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −4,25sd = 7,5
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 88 de 250 pacientes con el tratamiento A y 50 de 100 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 50n₂ = 100
z =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 5
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 20.
n = 6x = 20
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 15,01
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 222/5 = 44,4
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 3,6² + 7,6² + (−25,4)² + 0,6² + 13,6² = 901,2
Desviación típica
s = √(901,2/4) = 15,01
Respuesta
s = 15,01
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,3085
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −0,5
Tabla de la normal estándar
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Respuesta
P = 0,3085
3.Probabilidad
Respuesta: N = 15
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Respuesta
N = 15
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,03125
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 8·0,51·0,57 = 8·0,5·0,007813 = 0,03125
Respuesta
P = 0,03125
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,6861
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55
Área entre ambos valores
P = Φ(0,55) − Φ(−2) = 0,7088 − 0,02275 = 0,6861
Respuesta
P = 0,6861
6.Distribución normal
Respuesta: x = 84,6 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Vuelta a x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puntos
Respuesta
x = 84,6 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 15,37
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Margen de error
E = 2,977·20/√15 = 15,37
Respuesta
E = 15,37
8.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 5,345 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 14·7,3² = 746,1
Límites para σ²
746,1/26,119 = 28,56
746,1/5,629 = 132,5
Límite para σ
σ = √28,56 = 5,345 µm
Respuesta
σ = 5,345 µm
Intervalo del 95 % para σ: [5,345, 11,51] µm.
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 7,5/√9 = 2,5
Estadístico de contraste
t = −4,25/2,5 = −1,7
Respuesta
t = −1,7
Con gl = 8, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,306; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −2,56
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 50/100 = 0,5
p̂ = 138/350 = 0,3943
Error típico bajo H₀
SE = √(0,3943·0,6057·(1/250 + 1/100)) = 0,05782
Estadístico de contraste
z = (0,352 − 0,5)/0,05782 = −2,56
Respuesta
z = −2,56
|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,95
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 85/5 = 17
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 38
Coeficiente de determinación
r² = −19²/(10·38) = 0,95
Respuesta
r² = 0,95
Aproximadamente el 95 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 92,78
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 635/6 = 105,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 457
Recta de regresión
b = 457/70 = 6,529
a = 105,8 − 6,529·22 = −37,8
ŷ = −37,8 + 6,529·x
Predicción
ŷ = −37,8 + 6,529·20 = 92,78
Respuesta
ŷ = 92,78
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