Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 26, 29, 39, 59, 49, 50, 47.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 40. Calcula la puntuación z z de una nota de 580.
μ = 500σ = 40x = 580
z =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 5
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,7, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 3?
n = 9p = 0,7k = 3
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 169,95 y 188,5 cm? Da P como número decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 169,95x2 = 188,5
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 80 % de los datos (el percentil 80).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 13 elementos tiene media 52 y desviación típica s = 2. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 13x̄ = 52s = 295%t(12) = 2,179
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 24. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?
σ = 24E = 0,595%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 491 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 491s = 20n = 16
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 16 medidas tiene media 55. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.
x̄ = 55σ = 20n = 1695%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 105Σy = 586Σx² = 2295Σy² = 71622Σxy = 12813
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 19.
n = 5x = 19
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 11,95
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 299/7 = 42,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−16,71)² + (−13,71)² + (−3,714)² + 16,29² + 6,286² + 7,286² + 4,286² = 857,4
Desviación típica
s = √(857,4/6) = 11,95
Respuesta
s = 11,95
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (580 − 500)/40 = 2
Respuesta
z = 2
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,5981
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Respuesta
P = 0,5981
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,021
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 3) = 84·0,73·0,36 = 84·0,343·0,000729 = 0,021
Respuesta
P = 0,021
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8081
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15
z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5
Área entre ambos valores
P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081
Respuesta
P = 0,8081
6.Distribución normal
Respuesta: x = 73,42 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Vuelta a x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 puntos
Respuesta
x = 73,42 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 1,209
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margen de error
E = 2,179·2/√13 = 1,209
Respuesta
E = 1,209
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 8852
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·24/0,5)² = 8851
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 8852
Respuesta
n = 8852
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,8
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Estadístico de contraste
t = (491 − 500)/5 = −1,8
Respuesta
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 64,8
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,96·20/√16 = 9,8
Límite del intervalo
U = 55 + 9,8 = 64,8
Respuesta
U = 64,8
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9852
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 12813 − 105·586/5 = 507
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 71622 − 586²/5 = 2943
Coeficiente de correlación
r = 507/√(90·2943) = 0,9852
Respuesta
r = 0,9852
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 54,55
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 329/5 = 65,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Recta de regresión
b = 150/40 = 3,75
a = 65,8 − 3,75·22 = −16,7
ŷ = −16,7 + 3,75·x
Predicción
ŷ = −16,7 + 3,75·19 = 54,55
Respuesta
ŷ = 54,55
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