Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 55, 15, 47, 49, 53.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 30?

μ = 50σ = 20x = 30

P =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 8 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

8 / 8

P =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X − 3. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,2, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 436 y 508 h? Da P como número decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 508

P =

6.Distribución normalDifícil

Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 75 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 65 puntosσ = 10 puntos75%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 9 elementos tiene media 100,5 y desviación típica s = 17. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 9x̄ = 100,5s = 1790%t(8) = 1,86

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 38. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?

σ = 38E = 1,599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 50; se sabe que la desviación típica poblacional es 15. Una muestra aleatoria de 25 observaciones tiene una media de 45,02. Contrasta H₀: μ = 50 frente a H₁: μ < 50. Halla el p-valor p.

μ₀ = 50σ = 15n = 25x̄ = 45,02H₁: μ < μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 55 de 100 pacientes con el tratamiento A y 126 de 200 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 126n₂ = 200

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 42Σy = 165Σx² = 364Σy² = 5387Σxy = 1398

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 16,41

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 219/5 = 43,8

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 11,2² + (−28,8)² + 3,2² + 5,2² + 9,2² = 1077

Desviación típica

s = √(1077/4) = 16,41

Respuesta

s = 16,41

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,8413

Tipificar

z = −1

Tabla de la normal estándar

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Respuesta

P = 0,8413

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,2333

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Respuesta

P = 0,2333

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 24,82

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Dispersión de X

μ = 3,2, Var(X) = 6,16, σ_X = 2,482

Cambio lineal

σ_Y = |10|·2,482 = 24,82

Respuesta

σ_Y = 24,82

La media sí se desplaza: E(Y) = 10·3,2 − 3 = 29.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,5245

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Área entre ambos valores

P = Φ(0,2) − Φ(−1,6) = 0,5793 − 0,0548 = 0,5245

Respuesta

P = 0,5245

6.Distribución normal

Respuesta: x = 58,3 puntos

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,25

z según la tabla

z ≈ −0,67

De vuelta a las unidades originales

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 puntos

Respuesta

x = 58,3 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 89,96

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margen de error

E = 1,86·17/√9 = 10,54

Intervalo

100,5 ± 10,54 → [89,96, 111]

Respuesta

límite inferior = 89,96

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 4259

Despejar n

n = (2,576·38/1,5)² = 4259

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 4259

Respuesta

n = 4259

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,04846

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (45,02 − 50)/3 = −1,66

Área de la cola

Φ(1,66) = 0,9515

1 − Φ(1,66) = 0,0485

p-valor

p = 0,04846

Respuesta

p = 0,04846

p ≤ 0,05, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,335

Proporciones muestrales

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 126/200 = 0,63

p̂ = 181/300 = 0,6033

Error típico bajo H₀

SE = √(0,6033·0,3967·(1/100 + 1/200)) = 0,05992

Estadístico de contraste

z = (0,55 − 0,63)/0,05992 = −1,335

Respuesta

z = −1,335

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9965

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 1398 − 42·165/6 = 243

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 5387 − 165²/6 = 849,5

Coeficiente de correlación

r = 243/√(70·849,5) = 0,9965

Respuesta

r = 0,9965

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 98

Medias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 588/6 = 98

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 512

Recta de regresión

b = 512/70 = 7,314

a = 98 − 7,314·8 = 39,49

ŷ = 39,49 + 7,314·x

Predicción

ŷ = 39,49 + 7,314·8 = 98

Respuesta

ŷ = 98

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