Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 58, 51, 31, 38, 20, 40, 37.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 56?

μ = 50σ = 15x = 56

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,35, 0,05, 0,15

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 8 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 8p = 0,6

P =

5.Distribución normalMedia

Las masas de sacos de cemento son independientes y normales con media 25 kg y desviación típica 0,5 kg. Halla la probabilidad P de que la masa total de 9 de ellos supere 224,3 kg. Redondea z a dos decimales.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 224,3 kg

P =

6.Distribución normalDifícil

Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 20 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 100 puntosσ = 15 puntos20%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 11 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media −3,9 y desviación típica 0,6. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.

n = 11d̄ = −3,9s_d = 0,690%t(10) = 1,812

E = mmHg

8.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 8 parcelas, rendimiento medio 61,5 kg, desviación típica 5,5 kg. Grupo de parcelas 2: 8 parcelas, media 49,5 kg, desviación típica 4,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 61,5s₁ = 5,5n₂ = 8x̄₂ = 49,5s₂ = 4,599%t(14) = 2,977

E = kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

11 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −3,26 y la desviación típica de las diferencias es 5,4. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −3,26s_d = 5,4

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 24 de 120 pacientes con el tratamiento A y 34 de 100 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 34n₂ = 100

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 42Σy = 146Σx² = 364Σy² = 4302Σxy = 1250

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 82?

n = 5ŷ = 82

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 12,49

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 275/7 = 39,29

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 18,71² + 11,71² + (−8,286)² + (−1,286)² + (−19,29)² + 0,7143² + (−2,286)² = 935,4

Desviación típica

s = √(935,4/6) = 12,49

Respuesta

s = 12,49

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,6554

Tipificar

z = 0,4

Tabla de la normal estándar

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Respuesta

P = 0,6554

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,269

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,05 + 5·0,15 = 2,7

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,05 + 25·0,15 = 8,9

Varianza

Var(X) = 8,9 − 2,7² = 1,61

σ = √1,61 = 1,269

Respuesta

σ = 1,269

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,00852

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Súmalas

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Respuesta

P = 0,00852

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,6808

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución del total

μ_T = 225 kg, σ_T = 0,5·√9 = 1,5 kg

Tipificar

z = (224,3 − 225)/1,5 = −0,47

Probabilidad

P = 1 − Φ(−0,47) = 0,6808

Respuesta

P = 0,6808

6.Distribución normal

Respuesta: x = 87,4 puntos

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,2

z según la tabla

z ≈ −0,84

De vuelta a las unidades originales

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 puntos

Respuesta

x = 87,4 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 0,3278 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 10, t = 1,812

Margen de error

E = 1,812·0,6/√11 = 0,3278

Respuesta

E = 0,3278 mmHg

8.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 7,48 kg

Desviación típica combinada

s_p² = (7·5,5² + 7·4,5²)/14 = 25,25

s_p = 5,025

Margen de error

E = 2,977·5,025·√(1/8 + 1/8) = 7,48

Respuesta

E = 7,48 kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,002

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Error típico de la diferencia media

SE = 5,4/√11 = 1,628

Estadístico de contraste

t = −3,26/1,628 = −2,002

Respuesta

t = −2,002

Con gl = 10, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,228; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −2,347

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporciones muestrales

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 34/100 = 0,34

p̂ = 58/220 = 0,2636

Error típico bajo H₀

SE = √(0,2636·0,7364·(1/120 + 1/100)) = 0,05966

Estadístico de contraste

z = (0,2 − 0,34)/0,05966 = −2,347

Respuesta

z = −2,347

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9955

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 1250 − 42·146/6 = 228

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 4302 − 146²/6 = 749,3

Coeficiente de correlación

r = 228/√(70·749,3) = 0,9955

Respuesta

r = 0,9955

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 19,48

Medias

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 554/5 = 110,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 573

Recta de regresión

b = 573/90 = 6,367

a = 110,8 − 6,367·24 = −42

ŷ = −42 + 6,367·x

Despeja x

x = (82 − (−42))/6,367 = 19,48

Respuesta

x = 19,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1