Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 50, 36, 27, 51, 46.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 112?

μ = 100σ = 8x = 112

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,15, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 10 €. Ganas 20 € con probabilidad 0,15 y 200 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €10€20: p = 0,15€200: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 55,5 y 83,5 puntos? Da P como número decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 55,5x₂ = 83,5

P =

6.Distribución normalDifícil

Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 30 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 100 puntosσ = 15 puntos30%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 6 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 5,2 y desviación típica 6,3. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media.

n = 6d̄ = 5,2s_d = 6,395%t(5) = 2,571

límite inferior = mmHg

8.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 19 parcelas, rendimiento medio 37,5 kg, desviación típica 3,5 kg. Grupo de parcelas 2: 7 parcelas, media 29 kg, desviación típica 7,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 19x̄₁ = 37,5s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 29s₂ = 7,595%t(24) = 2,064

E = kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 52 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52s = 20n = 49

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 16 de 80 pacientes con el tratamiento A y 58 de 200 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 58n₂ = 200

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 10,27

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 210/5 = 42

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 8² + (−6)² + (−15)² + 9² + 4² = 422

Desviación típica

s = √(422/4) = 10,27

Respuesta

s = 10,27

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,9332

Tipificar

z = 1,5

Tabla de la normal estándar

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Respuesta

P = 0,9332

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 2,588

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,15 + 5·0,35 = 3,25

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,15 + 25·0,35 = 13,15

Varianza

Var(X) = 13,15 − 3,25² = 2,588

Respuesta

Var(X) = 2,588

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −5 €

Resultados netos

G: 10 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Valor esperado

E(G) = 10·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −5 €

Respuesta

E(G) = −5 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,7968

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Área entre ambos valores

P = Φ(1,85) − Φ(−0,95) = 0,9678 − 0,1711 = 0,7968

Respuesta

P = 0,7968

6.Distribución normal

Respuesta: x = 92,2 puntos

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,3

z según la tabla

z ≈ −0,52

De vuelta a las unidades originales

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 puntos

Respuesta

x = 92,2 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −1,413 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 5, t = 2,571

Margen de error

E = 2,571·6,3/√6 = 6,613

Intervalo

5,2 ± 6,613 → [−1,413, 11,81]

Respuesta

límite inferior = −1,413 mmHg

8.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 4,4 kg

Desviación típica combinada

s_p² = (18·3,5² + 6·7,5²)/24 = 23,25

s_p = 4,822

Margen de error

E = 2,064·4,822·√(1/19 + 1/7) = 4,4

Respuesta

E = 4,4 kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 0,7

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Estadístico de contraste

t = (52 − 50)/2,857 = 0,7

Respuesta

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporciones muestrales

p̂₁ = 16/80 = 0,2

p̂₂ = 58/200 = 0,29

p̂ = 74/280 = 0,2643

Error típico bajo H₀

SE = √(0,2643·0,7357·(1/80 + 1/200)) = 0,05833

Estadístico de contraste

z = (0,2 − 0,29)/0,05833 = −1,543

Respuesta

z = −1,543

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9439

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 629/6 = 104,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2061

Coeficiente de determinación

r² = 369²/(70·2061) = 0,9439

Respuesta

r² = 0,9439

Aproximadamente el 94,39 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 32,02

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 152/6 = 25,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

Recta de regresión

b = 234/70 = 3,343

a = 25,33 − 3,343·7 = 1,933

ŷ = 1,933 + 3,343·x

Predicción

ŷ = 1,933 + 3,343·9 = 32,02

Respuesta

ŷ = 32,02

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