Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 37, 43, 48, 19, 27, 29.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 76?
μ = 70σ = 10x = 76
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 3 personas entre un grupo de 9? El orden no importa.
n = 9k = 3
N =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X + 5. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,05, 0,2Y = 5X + 5
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6319. Halla z con dos decimales.
A = 0,6319
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 80 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 65 puntosσ = 10 puntos80%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 50 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 10,3. ¿Cuál es el margen de error E₂ si el mismo estudio usa 200 observaciones?
95%n₁ = 50E₁ = 10,3n₂ = 200
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 16 parcelas, rendimiento medio 39 kg, desviación típica 5,5 kg. Grupo de parcelas 2: 15 parcelas, media 29 kg, desviación típica 1 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 16x̄₁ = 39s₁ = 5,5n₂ = 15x̄₂ = 29s₂ = 195%t(29) = 2,045
E = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 80 piezas tiene una longitud media de 142,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 13 mm. Línea 2: una muestra de 60 piezas tiene una media de 138,8 mm, con desviación típica conocida de 10 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
n₁ = 80x̄₁ = 142,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 60x̄₂ = 138,8 mmσ₂ = 10 mm
z =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 49 medidas tiene media 101,8. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 95 % para la media.
x̄ = 101,8σ = 5n = 4995%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 16,5.
n = 6x = 16,5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,82
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 203/6 = 33,83
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 3,167² + 9,167² + 14,17² + (−14,83)² + (−6,833)² + (−4,833)² = 584,8
Desviación típica
s = √(584,8/5) = 10,82
Respuesta
s = 10,82
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,2743
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,6
Tabla de la normal estándar
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Respuesta
P = 0,2743
3.Probabilidad
Respuesta: N = 84
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
Respuesta
N = 84
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 7,496
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,45, Var(X) = 2,247, σX = 1,499
Cambio lineal
σY = |5|·1,499 = 7,496
Respuesta
σY = 7,496
La media sí se desplaza: E(Y) = 5·2,45 + 5 = 17,25.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,9
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,8159 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,90
Respuesta
z = 0,90
6.Distribución normal
Respuesta: x = 56,6 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,2
z según la tabla
z ≈ −0,84
De vuelta a las unidades originales
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 puntos
Respuesta
x = 56,6 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 5,15
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/200) = 0,5
Nuevo margen
E₂ = 10,3·0,5 = 5,15
Respuesta
E₂ = 5,15
8.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 2,952 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (15·5,5² + 14·1²)/29 = 16,13
sp = 4,016
Margen de error
E = 2,045·4,016·√(1/16 + 1/15) = 2,952
Respuesta
E = 2,952 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = 1,903
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Error típico de la diferencia
SE = √(13²/80 + 10²/60) = √3,779 = 1,944
Estadístico de contraste
z = (142,5 − 138,8)/1,944 = 1,903
Respuesta
z = 1,903
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 100,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,96·5/√49 = 1,4
Límite del intervalo
L = 101,8 − 1,4 = 100,4
Respuesta
L = 100,4
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9531
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Syy = Σ(y − ȳ)² = 68,8
Coeficiente de correlación
r = −25/√(10·68,8) = −0,9531
Respuesta
r = −0,9531
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 44,53
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 393/6 = 65,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 550,5
Recta de regresión
b = 550,5/157,5 = 3,495
a = 65,5 − 3,495·22,5 = −13,14
ŷ = −13,14 + 3,495·x
Predicción
ŷ = −13,14 + 3,495·16,5 = 44,53
Respuesta
ŷ = 44,53
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