Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 60, 38, 35, 15, 26, 30.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 10?
μ = 50σ = 20x = 10
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 3 personas entre un grupo de 15? El orden no importa.
n = 15k = 3
N =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 11 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 11p = 0,5
P =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,2812. Halla z con dos decimales.
A = 0,2812
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 5 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Se mide la tensión arterial de 13 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 5,9 y desviación típica 3,5. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media.
n = 13d̄ = 5,9sd = 3,595%t(12) = 2,179
E = mmHg
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 5 parcelas, rendimiento medio 72,5 kg, desviación típica 10 kg. Grupo de parcelas 2: 9 parcelas, media 66 kg, desviación típica 9,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 72,5s₁ = 10n₂ = 9x̄₂ = 66s₂ = 9,590%t(12) = 1,782
límite inferior = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
15 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 2,21 y la desviación típica de las diferencias es 5,7. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 2,21sd = 5,7
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,05 debe detectar un desplazamiento de la media de 2,5 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 21. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,05potencia = 90%δ = 2,5σ = 21zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (16, 75). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(16, 75)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 15,06
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 204/6 = 34
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 26² + 4² + 1² + (−19)² + (−8)² + (−4)² = 1134
Desviación típica
s = √(1134/5) = 15,06
Respuesta
s = 15,06
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,02275
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −2
Tabla de la normal estándar
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Respuesta
P = 0,02275
3.Probabilidad
Respuesta: N = 455
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Respuesta
N = 455
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,005859
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371
Súmalas
P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859
Respuesta
P = 0,005859
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,36
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,2812)/2 = 0,6406
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,6406 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,36
Respuesta
z = 0,36
6.Distribución normal
Respuesta: x = 566 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,95
z según la tabla
z ≈ 1,64
De vuelta a las unidades originales
x = 500 + 1,64·40 = 566 h
Respuesta
x = 566 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 2,115 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 12, t = 2,179
Margen de error
E = 2,179·3,5/√13 = 2,115
Respuesta
E = 2,115 mmHg
8.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −3,111 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (4·10² + 8·9,5²)/12 = 93,5
sp = 9,67
Margen de error
E = 1,782·9,67·√(1/5 + 1/9) = 9,611
Intervalo
6,5 ± 9,611 → [−3,111, 16,11]
Respuesta
límite inferior = −3,111 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,502
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 5,7/√15 = 1,472
Estadístico de contraste
t = 2,21/1,472 = 1,502
Respuesta
t = 1,502
Con gl = 14, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,145; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 605
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((1,645 + 1,282)·21/2,5)² = 604,5
Redondear hacia arriba
n = 605
Respuesta
n = 605
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,883
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 282/6 = 47
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75
Syy = Σ(y − ȳ)² = 364
Coeficiente de determinación
r² = 75²/(17,5·364) = 0,883
Respuesta
r² = 0,883
Aproximadamente el 88,3 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −2,552
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 610/6 = 101,7
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422
Recta de regresión
b = 422/70 = 6,029
a = 101,7 − 6,029·20 = −18,9
ŷ = −18,9 + 6,029·x
Valor predicho
ŷ = −18,9 + 6,029·16 = 77,55
Residuo
e = 75 − 77,55 = −2,552
Respuesta
e = −2,552
El punto está por debajo de la recta.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1