Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 11, 35, 57, 56, 45.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 80?

μ = 60σ = 10x = 80

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,1, 0,05

σ =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X + 5. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 175,9 y 179,4 cm? Da P como número decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 175,9x₂ = 179,4

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 99 % de los datos (el percentil 99).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 10 elementos tiene media 98,5 y desviación típica s = 14,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 10x̄ = 98,5s = 14,595%t(9) = 2,262

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 19. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 4?

σ = 19E = 499%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 10 estudiantes, nota media 111, desviación típica 8. Grupo 2: 6 estudiantes, nota media 121, desviación típica 5,5. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 10x̄₁ = 111s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 121s₂ = 5,5

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 49 medidas tiene media 50,2. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 50,2σ = 5n = 4990%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 5Σx = 15Σy = 241Σx² = 55Σy² = 11859Σxy = 772

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (20, 66). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(20, 66)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 18,93

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 204/5 = 40,8

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−29,8)² + (−5,8)² + 16,2² + 15,2² + 4,2² = 1433

Desviación típica

s = √(1433/4) = 18,93

Respuesta

s = 18,93

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,9772

Tipificar

z = 2

Tabla de la normal estándar

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Respuesta

P = 0,9772

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,152

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,05 = 1,15

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,05 = 2,65

Varianza

Var(X) = 2,65 − 1,15² = 1,328

σ = √1,328 = 1,152

Respuesta

σ = 1,152

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 4,183

Dispersión de X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Cambio lineal

σ_Y = |5|·0,8367 = 4,183

Respuesta

σ_Y = 4,183

La media sí se desplaza: E(Y) = 5·1 + 5 = 10.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,1972

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Área entre ambos valores

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Respuesta

P = 0,1972

6.Distribución normal

Respuesta: x = 261,6 g

z del percentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Vuelta a x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Respuesta

x = 261,63 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 108,9

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margen de error

E = 2,262·14,5/√10 = 10,37

Intervalo

98,5 ± 10,37 → [88,13, 108,9]

Respuesta

límite superior = 108,9

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 150

Despejar n

n = (2,576·19/4)² = 149,7

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 150

Respuesta

n = 150

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,687

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinada

s_p² = (9·8² + 5·5,5²)/14 = 51,95

s_p = 7,207

Error típico

SE = 7,207·√(1/10 + 1/6) = 3,722

Estadístico de contraste

t = (111 − 121)/3,722 = −2,687

Respuesta

t = −2,687

Con gl = 14, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,145; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 49,03

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 1,645·5/√49 = 1,175

Límite del intervalo

L = 50,2 − 1,175 = 49,03

Respuesta

L = 49,03

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9944

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 772 − 15·241/5 = 49

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 11859 − 241²/5 = 242,8

Coeficiente de correlación

r = 49/√(10·242,8) = 0,9944

Respuesta

r = 0,9944

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 3,85

Medias

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 287/5 = 57,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Recta de regresión

b = 190/40 = 4,75

a = 57,4 − 4,75·19 = −32,85

ŷ = −32,85 + 4,75·x

Valor predicho

ŷ = −32,85 + 4,75·20 = 62,15

Residuo

e = 66 − 62,15 = 3,85

Respuesta

e = 3,85

El punto está por encima de la recta.

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