Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 44, 40, 42, 37, 42, 56.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. Calcula la puntuación z z de una nota de 30.
μ = 50σ = 20x = 30
z =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 5 bolas rojas y 6 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
5 / 6
P =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 7 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 7p = 0,6
P =
5.Distribución normalMedia
Las masas de tornillos son independientes y normales con media 40 g y desviación típica 1,2 g. Halla la probabilidad P de que la masa total de 9 de ellos supere 354,6 g. Redondea z a dos decimales.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 354,6 g
P =
6.Distribución normalDifícil
El tiempo por vuelta X del corredor A y el tiempo por vuelta Y del corredor B son independientes y normales: X tiene media 52 s y desviación típica 4 s, Y tiene media 48 s y desviación típica 3 s. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 10 elementos tiene media 94,5 y desviación típica s = 18. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 10x̄ = 94,5s = 1890%t(9) = 1,833
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 34. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?
σ = 34E = 0,599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 197,4 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,4s = 20n = 49
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 42 de 120 pacientes con el tratamiento A y 132 de 300 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 132n₂ = 300
z =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 17?
n = 5ŷ = 17
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 6,565
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 261/6 = 43,5
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 0,5² + (−3,5)² + (−1,5)² + (−6,5)² + (−1,5)² + 12,5² = 215,5
Desviación típica
s = √(215,5/5) = 6,565
Respuesta
s = 6,565
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (30 − 50)/20 = −1
Respuesta
z = −1
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1818
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818
Respuesta
P = 0,1818
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,01884
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Súmalas
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Respuesta
P = 0,01884
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,9332
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución del total
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Tipificar
z = (354,6 − 360)/3,6 = −1,5
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Respuesta
P = 0,9332
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7881
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Tipificar
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Probabilidad
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Respuesta
P = 0,7881
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 104,9
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margen de error
E = 1,833·18/√10 = 10,43
Intervalo
94,5 ± 10,43 → [84,07, 104,9]
Respuesta
límite superior = 104,9
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 30684
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·34/0,5)² = 30684
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 30684
Respuesta
n = 30684
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −0,91
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857
Estadístico de contraste
t = (197,4 − 200)/2,857 = −0,91
Respuesta
t = −0,91
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −1,692
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 42/120 = 0,35
p̂₂ = 132/300 = 0,44
p̂ = 174/420 = 0,4143
Error típico bajo H₀
SE = √(0,4143·0,5857·(1/120 + 1/300)) = 0,05321
Estadístico de contraste
z = (0,35 − 0,44)/0,05321 = −1,692
Respuesta
z = −1,692
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9809
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 447/5 = 89,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1447
Coeficiente de correlación
r = 236/√(40·1447) = 0,9809
Respuesta
r = 0,9809
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 6,846
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Recta de regresión
b = 104/40 = 2,6
a = 14,8 − 2,6·6 = −0,8
ŷ = −0,8 + 2,6·x
Despeja x
x = (17 − (−0,8))/2,6 = 6,846
Respuesta
x = 6,846
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