Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 33, 60, 51, 26, 45, 43, 15.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 100. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 700?
μ = 500σ = 100x = 700
P =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 9 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
7 / 9
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 5?
n = 9p = 0,25k = 5
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción está entre 23,3 y 41,3 min? Da P como número decimal.
μ = 32σ = 6x1 = 23,3x2 = 41,3
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 5 % de los datos (el percentil 5).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 9 elementos tiene media 21 y desviación típica s = 13. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 9x̄ = 21s = 1395%t(8) = 2,306
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 5 parcelas, rendimiento medio 44,5 kg, desviación típica 7,5 kg. Grupo de parcelas 2: 16 parcelas, media 36,5 kg, desviación típica 4,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 44,5s₁ = 7,5n₂ = 16x̄₂ = 36,5s₂ = 4,599%t(19) = 2,861
E = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 50 piezas tiene una longitud media de 63,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 19 mm. Línea 2: una muestra de 40 piezas tiene una media de 58,9 mm, con desviación típica conocida de 7 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
n₁ = 50x̄₁ = 63,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 40x̄₂ = 58,9 mmσ₂ = 7 mm
z =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 2,5 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 14. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,01potencia = 95%δ = 2,5σ = 14zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 105Σx² = 91Σy² = 1953Σxy = 324
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (9, 42). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(9, 42)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 15,37
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 273/7 = 39
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−6)² + 21² + 12² + (−13)² + 6² + 4² + (−24)² = 1418
Desviación típica
s = √(1418/6) = 15,37
Respuesta
s = 15,37
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,02275
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 2
Tabla de la normal estándar
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Respuesta
P = 0,02275
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,175
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175
Respuesta
P = 0,175
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,03893
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 5) = 126·0,255·0,754 = 126·0,0009766·0,3164 = 0,03893
Respuesta
P = 0,03893
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8659
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Área entre ambos valores
P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659
Respuesta
P = 0,8659
6.Distribución normal
Respuesta: x = 75,33 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Vuelta a x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 puntos
Respuesta
x = 75,33 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 11,01
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Margen de error
E = 2,306·13/√9 = 9,993
Intervalo
21 ± 9,993 → [11,01, 30,99]
Respuesta
límite inferior = 11,01
8.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 7,733 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (4·7,5² + 15·4,5²)/19 = 27,83
sp = 5,275
Margen de error
E = 2,861·5,275·√(1/5 + 1/16) = 7,733
Respuesta
E = 7,733 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = 1,583
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Error típico de la diferencia
SE = √(19²/50 + 7²/40) = √8,445 = 2,906
Estadístico de contraste
z = (63,5 − 58,9)/2,906 = 1,583
Respuesta
z = 1,583
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 495
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((2,326 + 1,645)·14/2,5)² = 494,5
Redondear hacia arriba
n = 495
Respuesta
n = 495
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9676
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 324 − 21·105/6 = −43,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1953 − 105²/6 = 115,5
Coeficiente de correlación
r = −43,5/√(17,5·115,5) = −0,9676
Respuesta
r = −0,9676
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 4,567
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 173/6 = 28,83
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 301
Recta de regresión
b = 301/70 = 4,3
a = 28,83 − 4,3·7 = −1,267
ŷ = −1,267 + 4,3·x
Valor predicho
ŷ = −1,267 + 4,3·9 = 37,43
Residuo
e = 42 − 37,43 = 4,567
Respuesta
e = 4,567
El punto está por encima de la recta.
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