Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 35, 55, 11, 52, 15, 52, 45.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 158.

μ = 170σ = 8x = 158

z =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 8 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

8 / 4

P =

4.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 6 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 4?

n = 6p = 0,25k = 4

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,8888. Halla z con dos decimales.

A = 0,8888

z =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 95 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 6 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 6,1 y desviación típica 5,7. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la diferencia media.

n = 6d̄ = 6,1s_d = 5,799%t(5) = 4,032

límite inferior = mmHg

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 37. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2?

σ = 37E = 295%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 36 estudiantes tiene una nota media de 52,33 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,33s = 20n = 36

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 95 % para una media tenga un margen de error de como mucho 2? La desviación típica es 12. Calcula el menor tamaño muestral n.

σ = 12E = 295%

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 18,24

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 265/7 = 37,86

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,857)² + 17,14² + (−26,86)² + 14,14² + (−22,86)² + 14,14² + 7,143² = 1997

Desviación típica

s = √(1997/6) = 18,24

Respuesta

s = 18,24

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1,5

Tipificar

z = (158 − 170)/8 = −1,5

Respuesta

z = −1,5

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,4242

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Respuesta

P = 0,4242

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,03296

Fórmula binomial

P(X = 4) = 15·0,25⁴·0,75² = 15·0,003906·0,5625 = 0,03296

Respuesta

P = 0,03296

5.Distribución normal

Respuesta: z = −1,22

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,8888 = 0,1112

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,1112 dentro de la tabla y lee z.

z = −1,22

Respuesta

z = −1,22

6.Distribución normal

Respuesta: x = 241,8 g

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,05

z según la tabla

z ≈ −1,64

De vuelta a las unidades originales

x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g

Respuesta

x = 241,8 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −3,283 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 5, t = 4,032

Margen de error

E = 4,032·5,7/√6 = 9,383

Intervalo

6,1 ± 9,383 → [−3,283, 15,48]

Respuesta

límite inferior = −3,283 mmHg

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 1315

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (1,96·37/2)² = 1315

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 1315

Respuesta

n = 1315

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 0,699

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Estadístico de contraste

t = (52,33 − 50)/3,333 = 0,699

Respuesta

t = 0,699

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 139

Despejar n

n = (1,96·12/2)² = 138,3

Redondear hacia arriba

n = 139

Respuesta

n = 139

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9429

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 255/5 = 51

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 328

Coeficiente de correlación

r = 54/√(10·328) = 0,9429

Respuesta

r = 0,9429

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 24,33

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 146/6 = 24,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Recta de regresión

b = 210/70 = 3

a = 24,33 − 3·7 = 3,333

ŷ = 3,333 + 3·x

Predicción

ŷ = 3,333 + 3·7 = 24,33

Respuesta

ŷ = 24,33

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