Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 21, 41, 24, 28, 18, 15.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 54?
μ = 70σ = 8x = 54
P =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 9 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
7 / 9
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 10p = 0,6k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Las masas de tornillos son independientes y normales con media 40 g y desviación típica 1,2 g. Halla la probabilidad P de que la masa total de 5 de ellos supere 204 g. Redondea z a dos decimales.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 204 g
P =
6.Distribución normalDifícil
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 10 elementos tiene media 17,5 y desviación típica s = 15,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 10x̄ = 17,5s = 15,590%t(9) = 1,833
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 17. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?
σ = 17E = 395%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 117,6 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,6s = 10n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 50 frente a H₁: μ > 50 con α = 0,10 y una muestra de 64; se sabe que la desviación típica es 12. En realidad la media es 54,2. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 50μ = 54,2σ = 12n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 42Σy = 196Σx² = 364Σy² = 7588Σxy = 1660
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (5, 6). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(5, 6)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 9,268
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 147/6 = 24,5
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−3,5)² + 16,5² + (−0,5)² + 3,5² + (−6,5)² + (−9,5)² = 429,5
Desviación típica
s = √(429,5/5) = 9,268
Respuesta
s = 9,268
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,02275
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −2
Tabla de la normal estándar
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Respuesta
P = 0,02275
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,175
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175
Respuesta
P = 0,175
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,01062
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 45·0,62·0,48 = 45·0,36·0,0006554 = 0,01062
Respuesta
P = 0,01062
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,06811
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución del total
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
Tipificar
z = (204 − 200)/2,683 = 1,49
Probabilidad
P = 1 − Φ(1,49) = 0,06811
Respuesta
P = 0,06811
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Tipificar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 8,985
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margen de error
E = 1,833·15,5/√10 = 8,985
Respuesta
E = 8,985
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 124
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·17/3)² = 123,4
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 124
Respuesta
n = 124
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,16
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Estadístico de contraste
t = (117,6 − 120)/1,111 = −2,16
Respuesta
t = −2,16
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 93,55 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 50 + 1,282·1,5 = 51,92
z con la media verdadera
z = (51,92 − 54,2)/1,5 = −1,518
Potencia
potencia = P(Z > −1,518) = 93,55%
1 − β = 93,55%
Respuesta
1 − β = 93,55%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9998
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 1660 − 42·196/6 = 288
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 7588 − 196²/6 = 1185
Coeficiente de correlación
r = 288/√(70·1185) = 0,9998
Respuesta
r = 0,9998
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −2,49
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 71/6 = 11,83
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117
Recta de regresión
b = 117/70 = 1,671
a = 11,83 − 1,671·7 = 0,1333
ŷ = 0,1333 + 1,671·x
Valor predicho
ŷ = 0,1333 + 1,671·5 = 8,49
Residuo
e = 6 − 8,49 = −2,49
Respuesta
e = −2,49
El punto está por debajo de la recta.
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