Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 58, 32, 31, 28, 36.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 163,6.

μ = 170σ = 8x = 163,6

z =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

7 / 4

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 6 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 6p = 0,6

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,1292. Halla z con dos decimales.

A = 0,1292

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 25 elementos tiene media 106,5 y desviación típica s = 17. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 25x̄ = 106,5s = 1795%t(24) = 2,064

E =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,8 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 99 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,01?

p ≈ 0,8E = 0,0199%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 200,8 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 10n = 81

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 49 medidas tiene media 119. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 95 % para la media.

x̄ = 119σ = 5n = 4995%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (4,5, 61). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 61)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 12,08

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 185/5 = 37

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 21² + (−5)² + (−6)² + (−9)² + (−1)² = 584

Desviación típica

s = √(584/4) = 12,08

Respuesta

s = 12,08

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −0,8

Tipificar

z = (163,6 − 170)/8 = −0,8

Respuesta

z = −0,8

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,3818

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Respuesta

P = 0,3818

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,04096

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Súmalas

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Respuesta

P = 0,04096

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,13

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,1292 = 0,8708

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,8708 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,13

Respuesta

z = 1,13

6.Distribución normal

Respuesta: x = 189,5 cm

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Vuelta a x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Respuesta

x = 189,51 cm

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 7,018

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Margen de error

E = 2,064·17/√25 = 7,018

Respuesta

E = 7,018

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 10618

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 2,576²·0,8·0,2/0,01² = 10617

Redondear hacia arriba

n = 10618

Respuesta

n = 10618

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 0,72

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Estadístico de contraste

t = (200,8 − 200)/1,111 = 0,72

Respuesta

t = 0,72

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 117,6

Margen de error

E = 1,96·5/√49 = 1,4

Límite del intervalo

L = 119 − 1,4 = 117,6

Respuesta

L = 117,6

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,8947

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 94

Coeficiente de determinación

r² = −29²/(10·94) = 0,8947

Respuesta

r² = 0,8947

Aproximadamente el 89,47 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 2,45

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 268/5 = 53,6

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

Recta de regresión

b = 33/10 = 3,3

a = 53,6 − 3,3·3 = 43,7

ŷ = 43,7 + 3,3·x

Valor predicho

ŷ = 43,7 + 3,3·4,5 = 58,55

Residuo

e = 61 − 58,55 = 2,45

Respuesta

e = 2,45

El punto está por encima de la recta.

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