Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 33, 32, 42, 50, 20.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 43,6?

μ = 50σ = 8x = 43,6

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 3 €. Ganas 15 € con probabilidad 0,15 y 30 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €3€15: p = 0,15€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 482 y 548 h? Da P como número decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 548

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 80 móviles, media 143,5 h, desviación típica conocida 20 h. Modelo 2: 60 móviles, media 152 h, desviación típica conocida 8 h. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 143,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 152 hσ₂ = 8 h99%

E = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 23. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?

σ = 23E = 599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 36 estudiantes tiene una nota media de 198,2 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 5n = 36

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 113 de 250 pacientes con el tratamiento A y 31 de 100 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 31n₂ = 100

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (2,5, 17). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 17)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 11,3

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 177/5 = 35,4

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,4)² + (−3,4)² + 6,6² + 14,6² + (−15,4)² = 511,2

Desviación típica

s = √(511,2/4) = 11,3

Respuesta

s = 11,3

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,7881

Tipificar

z = −0,8

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Respuesta

P = 0,7881

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,647

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,55

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,15

Varianza

Var(X) = 8,15 − 2,55² = 1,647

Respuesta

Var(X) = 1,647

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,45 €

Resultados netos

G: 12 (p = 0,15), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Valor esperado

E(G) = 12·0,15 + 27·0,01 − 3·0,84 = −0,45 €

Respuesta

E(G) = −0,45 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,5586

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Área entre ambos valores

P = Φ(1,2) − Φ(−0,45) = 0,8849 − 0,3264 = 0,5586

Respuesta

P = 0,5586

6.Distribución normal

Respuesta: x = 172,1 cm

z del percentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Vuelta a x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Respuesta

x = 172,11 cm

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 6,345 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 143,5 − 152 = −8,5

Error típico

SE = √(20²/80 + 8²/60) = 2,463

Margen de error

E = 2,576·2,463 = 6,345

Respuesta

E = 6,345 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 141

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (2,576·23/5)² = 140,4

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 141

Respuesta

n = 141

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,16

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Estadístico de contraste

t = (198,2 − 200)/0,8333 = −2,16

Respuesta

t = −2,16

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 2,439

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporciones muestrales

p̂₁ = 113/250 = 0,452

p̂₂ = 31/100 = 0,31

p̂ = 144/350 = 0,4114

Error típico bajo H₀

SE = √(0,4114·0,5886·(1/250 + 1/100)) = 0,05823

Estadístico de contraste

z = (0,452 − 0,31)/0,05823 = 2,439

Respuesta

z = 2,439

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9881

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 183/6 = 30,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 273

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1078

Coeficiente de determinación

r² = 273²/(70·1078) = 0,9881

Respuesta

r² = 0,9881

Aproximadamente el 98,81 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = −3,15

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Recta de regresión

b = −27/10 = −2,7

a = 18,8 − (−2,7)·3 = 26,9

ŷ = 26,9 − 2,7·x

Valor predicho

ŷ = 26,9 + (−2,7)·2,5 = 20,15

Residuo

e = 17 − 20,15 = −3,15

Respuesta

e = −3,15

El punto está por debajo de la recta.

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