Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 10, 32, 53, 28, 16.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 550?
μ = 500σ = 50x = 550
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 3X − 3. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X − 3
σY =
5.Distribución normalMedia
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. ¿Qué fracción está entre 244,25 y 255 g? Da P como número decimal.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 255
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 36 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 4,7. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 90 % basado en 144 observaciones?
99%n₁ = 36E₁ = 4,790%n₂ = 144
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 40. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 40E = 599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 206 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 206s = 20n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,05 debe detectar un desplazamiento de la media de 1,5 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 10. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,05potencia = 90%δ = 1,5σ = 10zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 17?
n = 6ŷ = 17
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 16,65
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 139/5 = 27,8
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−17,8)² + 4,2² + 25,2² + 0,2² + (−11,8)² = 1109
Desviación típica
s = √(1109/4) = 16,65
Respuesta
s = 16,65
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8413
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1
Tabla de la normal estándar
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 0,79
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,1
Media de los cuadrados
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,2
Varianza
Var(X) = 5,2 − 2,1² = 0,79
Respuesta
Var(X) = 0,79
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 2,51
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Cambio lineal
σY = |3|·0,8367 = 2,51
Respuesta
σY = 2,51
La media sí se desplaza: E(Y) = 3·1 − 3 = 0.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7163
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
Área entre ambos valores
P = Φ(1) − Φ(−1,15) = 0,8413 − 0,1251 = 0,7163
Respuesta
P = 0,7163
6.Distribución normal
Respuesta: x = 129,4 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Vuelta a x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 puntos
Respuesta
x = 129,4 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 1,501
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/144) = 0,3193
Nuevo margen
E₂ = 4,7·0,3193 = 1,501
Respuesta
E₂ = 1,501
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 425
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·40/5)² = 424,7
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 425
Respuesta
n = 425
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Estadístico de contraste
t = (206 − 200)/2,5 = 2,4
Respuesta
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 381
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((1,645 + 1,282)·10/1,5)² = 380,8
Redondear hacia arriba
n = 381
Respuesta
n = 381
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,7595
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 139/6 = 23,17
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 52,83
Coeficiente de determinación
r² = −26,5²/(17,5·52,83) = 0,7595
Respuesta
r² = 0,7595
Aproximadamente el 75,95 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 5,25
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Recta de regresión
b = −30/17,5 = −1,714
a = 20 − (−1,714)·3,5 = 26
ŷ = 26 − 1,714·x
Despeja x
x = (17 − 26)/(−1,714) = 5,25
Respuesta
x = 5,25
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