Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 44, 58, 25, 10, 44.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 174,8?
μ = 170σ = 12x = 174,8
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3
σ =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 20 € con probabilidad 0,15 y 50 € con probabilidad 0,05; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €5€20: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6047. Halla z con dos decimales.
A = 0,6047
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 95 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 100 puntosσ = 15 puntos95%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 40 móviles, media 75,5 h, desviación típica conocida 11 h. Modelo 2: 40 móviles, media 78,5 h, desviación típica conocida 5 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 75,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 78,5 hσ₂ = 5 h99%
límite inferior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 5. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?
σ = 5E = 0,595%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 98,62 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,62s = 4n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 95 % para una media tenga un margen de error de como mucho 3? La desviación típica es 20. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 20E = 395%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 15Σy = 102Σx² = 55Σy² = 2140Σxy = 284
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 98?
n = 5ŷ = 98
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 18,77
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 181/5 = 36,2
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 7,8² + 21,8² + (−11,2)² + (−26,2)² + 7,8² = 1409
Desviación típica
s = √(1409/4) = 18,77
Respuesta
s = 18,77
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,6554
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,4
Tabla de la normal estándar
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Respuesta
P = 0,6554
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 11,14
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 10·0,2 + 20·0,3 + 30·0,2 + 40·0,3 = 26
Media de los cuadrados
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,3 + 900·0,2 + 1600·0,3 = 800
Varianza
Var(X) = 800 − 26² = 124
σ = √124 = 11,14
Respuesta
σ = 11,14
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 0,5 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 15 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Valor esperado
E(G) = 15·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 0,5 €
Respuesta
E(G) = 0,5 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,85
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,6047)/2 = 0,8023
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,8023 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,85
Respuesta
z = 0,85
6.Distribución normal
Respuesta: x = 75,4 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,05
z según la tabla
z ≈ −1,64
De vuelta a las unidades originales
x = 100 − 1,64·15 = 75,4 puntos
Respuesta
x = 75,4 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −7,921 h
Intervalo para una diferencia: estimación ± valor crítico × error típico. Para dos medias independientes con σ conocida: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) y z. Con varianzas desconocidas iguales: s_p combinada y t con n₁ + n₂ − 2 grados de libertad. Para datos emparejados, trabaja con las diferencias: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 75,5 − 78,5 = −3
Error típico
SE = √(11²/40 + 5²/40) = 1,91
Margen de error
E = 2,576·1,91 = 4,921
Intervalo
−3 ± 4,921 → [−7,921, 1,921]
Respuesta
límite inferior = −7,921 h
El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 385
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·5/0,5)² = 384,2
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 385
Respuesta
n = 385
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −3,105
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Estadístico de contraste
t = (98,62 − 100)/0,4444 = −3,105
Respuesta
t = −3,105
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 171
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (1,96·20/3)² = 170,7
Redondear hacia arriba
n = 171
Respuesta
n = 171
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9042
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 284 − 15·102/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2140 − 102²/5 = 59,2
Coeficiente de correlación
r = −22/√(10·59,2) = −0,9042
Respuesta
r = −0,9042
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 18,58
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 621/5 = 124,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 534
Recta de regresión
b = 534/90 = 5,933
a = 124,2 − 5,933·23 = −12,27
ŷ = −12,27 + 5,933·x
Despeja x
x = (98 − (−12,27))/5,933 = 18,58
Respuesta
x = 18,58
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