Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 12, 19, 53, 36, 31.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. Calcula la puntuación z z de una nota de 600.
μ = 500σ = 50x = 600
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 3 €. Ganas 12 € con probabilidad 0,25 y 60 € con probabilidad 0,05; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €3€12: p = 0,25€60: p = 0,05
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 164 y 192,35 cm? Da P como número decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 192,35
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 20 elementos tiene media 48,5 y desviación típica s = 2. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 20x̄ = 48,5s = 299%t(19) = 2,861
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 30. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?
σ = 30E = 1,590%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
10 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 9,29 y la desviación típica de las diferencias es 11,3. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 9,29sd = 11,3
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 36 medidas tiene media 194,2. La desviación típica poblacional es 12. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 194,2σ = 12n = 3690%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 30Σy = 82Σx² = 220Σy² = 1588Σxy = 590
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 15,9
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 151/5 = 30,2
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−18,2)² + (−11,2)² + 22,8² + 5,8² + 0,8² = 1011
Desviación típica
s = √(1011/4) = 15,9
Respuesta
s = 15,9
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (600 − 500)/50 = 2
Respuesta
z = 2
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 1,55
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,5
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,8
Varianza
Var(X) = 3,8 − 1,5² = 1,55
Respuesta
Var(X) = 1,55
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 3 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 9 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)
Valor esperado
E(G) = 9·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 3 €
Respuesta
E(G) = 3 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,9571
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Área entre ambos valores
P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571
Respuesta
P = 0,9571
6.Distribución normal
Respuesta: x = 58,26 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Vuelta a x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 puntos
Respuesta
x = 58,26 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 49,78
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Margen de error
E = 2,861·2/√20 = 1,279
Intervalo
48,5 ± 1,279 → [47,22, 49,78]
Respuesta
límite superior = 49,78
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 1083
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·30/1,5)² = 1082
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 1083
Respuesta
n = 1083
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 11,3/√10 = 3,573
Estadístico de contraste
t = 9,29/3,573 = 2,6
Respuesta
t = 2,6
Con gl = 9, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,262; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 197,5
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·12/√36 = 3,29
Límite del intervalo
U = 194,2 + 3,29 = 197,5
Respuesta
U = 197,5
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9936
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 590 − 30·82/5 = 98
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1588 − 82²/5 = 243,2
Coeficiente de correlación
r = 98/√(40·243,2) = 0,9936
Respuesta
r = 0,9936
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 20,17
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5
Recta de regresión
b = −29,5/17,5 = −1,686
a = 20,17 − (−1,686)·3,5 = 26,07
ŷ = 26,07 − 1,686·x
Predicción
ŷ = 26,07 + (−1,686)·3,5 = 20,17
Respuesta
ŷ = 20,17
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