Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 12, 16, 18, 16, 56.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 90,4?
μ = 100σ = 8x = 90,4
P =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 5
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 6 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 4?
n = 6p = 0,6k = 4
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 55 y 83 puntos? Da P como número decimal.
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 83
P =
6.Distribución normalDifícil
Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 30 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 100 puntosσ = 15 puntos30%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 11 elementos tiene media 111 y desviación típica s = 14,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 11x̄ = 111s = 14,599%t(10) = 3,169
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 11 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 7,2 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 10, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 3,247 y el 2,5 % queda por encima de 20,483.
n = 11s = 7,2 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 48,14 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,14s = 5n = 49
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 25 medidas tiene media 98. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 98σ = 20n = 2590%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 18.
n = 5x = 18
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 18,24
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 118/5 = 23,6
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−11,6)² + (−7,6)² + (−5,6)² + (−7,6)² + 32,4² = 1331
Desviación típica
s = √(1331/4) = 18,24
Respuesta
s = 18,24
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8849
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,2
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,5981
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Respuesta
P = 0,5981
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,311
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 4) = 15·0,64·0,42 = 15·0,1296·0,16 = 0,311
Respuesta
P = 0,311
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8054
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8
Área entre ambos valores
P = Φ(1,8) − Φ(−1) = 0,9641 − 0,1587 = 0,8054
Respuesta
P = 0,8054
6.Distribución normal
Respuesta: x = 92,2 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,3
z según la tabla
z ≈ −0,52
De vuelta a las unidades originales
x = 100 − 0,52·15 = 92,2 puntos
Respuesta
x = 92,2 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 13,85
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margen de error
E = 3,169·14,5/√11 = 13,85
Respuesta
E = 13,85
8.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 12,64 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 10·7,2² = 518,4
Límites para σ²
518,4/20,483 = 25,31
518,4/3,247 = 159,7
Límite para σ
σ = √159,7 = 12,64 µm
Respuesta
σ = 12,64 µm
Intervalo del 95 % para σ: [5,031, 12,64] µm.
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,604
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Estadístico de contraste
t = (48,14 − 50)/0,7143 = −2,604
Respuesta
t = −2,604
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 91,42
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·20/√25 = 6,58
Límite del intervalo
L = 98 − 6,58 = 91,42
Respuesta
L = 91,42
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9157
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 61,33
Coeficiente de correlación
r = −30/√(17,5·61,33) = −0,9157
Respuesta
r = −0,9157
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 53,15
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 310/5 = 62
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Recta de regresión
b = 118/40 = 2,95
a = 62 − 2,95·21 = 0,05
ŷ = 0,05 + 2,95·x
Predicción
ŷ = 0,05 + 2,95·18 = 53,15
Respuesta
ŷ = 53,15
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