Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 11, 51, 60, 37, 29.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 174,8?
μ = 170σ = 12x = 174,8
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 5 personas entre un grupo de 15? El orden no importa.
n = 15k = 5
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,4, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 10p = 0,4k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 120 mm y desviación típica 0,3 mm; Y es independiente y normal con media 80 mm y desviación típica 0,4 mm. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 199,5 mm. Redondea z a dos decimales.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
6.Distribución normalDifícil
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 10 elementos tiene media 77 y desviación típica s = 3,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 10x̄ = 77s = 3,595%t(9) = 2,262
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 28. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?
σ = 28E = 2,599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
16 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −0,64 y la desviación típica de las diferencias es 1,7. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = −0,64sd = 1,7
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 38 de 250 pacientes con el tratamiento A y 57 de 250 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 38n₁ = 250x₂ = 57n₂ = 250
z =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 5
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (6, 34). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(6, 34)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 19,13
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 188/5 = 37,6
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−26,6)² + 13,4² + 22,4² + (−0,6)² + (−8,6)² = 1463
Desviación típica
s = √(1463/4) = 19,13
Respuesta
s = 19,13
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,3446
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,4
Tabla de la normal estándar
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Respuesta
P = 0,3446
3.Probabilidad
Respuesta: N = 3003
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003
Respuesta
N = 3003
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1209
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 45·0,42·0,68 = 45·0,16·0,0168 = 0,1209
Respuesta
P = 0,1209
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Tipificar
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Cola superior
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Tipificar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 79,5
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margen de error
E = 2,262·3,5/√10 = 2,504
Intervalo
77 ± 2,504 → [74,5, 79,5]
Respuesta
límite superior = 79,5
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 833
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·28/2,5)² = 832,4
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 833
Respuesta
n = 833
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,506
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 1,7/√16 = 0,425
Estadístico de contraste
t = −0,64/0,425 = −1,506
Respuesta
t = −1,506
Con gl = 15, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,131; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −2,166
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 38/250 = 0,152
p̂₂ = 57/250 = 0,228
p̂ = 95/500 = 0,19
Error típico bajo H₀
SE = √(0,19·0,81·(1/250 + 1/250)) = 0,03509
Estadístico de contraste
z = (0,152 − 0,228)/0,03509 = −2,166
Respuesta
z = −2,166
|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9887
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 102/5 = 20,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Syy = Σ(y − ȳ)² = 317,2
Coeficiente de determinación
r² = 112²/(40·317,2) = 0,9887
Respuesta
r² = 0,9887
Aproximadamente el 98,87 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −4,4
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 208/5 = 41,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Recta de regresión
b = 128/40 = 3,2
a = 41,6 − 3,2·7 = 19,2
ŷ = 19,2 + 3,2·x
Valor predicho
ŷ = 19,2 + 3,2·6 = 38,4
Residuo
e = 34 − 38,4 = −4,4
Respuesta
e = −4,4
El punto está por debajo de la recta.
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