Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 31, 30, 54, 41, 23, 27, 30.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 12. Calcula la puntuación z z de una nota de 104,8.
μ = 100σ = 12x = 104,8
z =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 9? El orden no importa.
n = 9k = 4
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 5?
n = 9p = 0,25k = 5
P =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,6406. Halla z con dos decimales.
A = 0,6406
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 85 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 65 puntosσ = 10 puntos85%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Se mide la tensión arterial de 13 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 7,9 y desviación típica 2,4. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media.
n = 13d̄ = 7,9sd = 2,495%t(12) = 2,179
E = mmHg
8.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 16 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 1,1 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 15, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 6,262 y el 2,5 % queda por encima de 27,488.
n = 16s = 1,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
12 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 5,28 y la desviación típica de las diferencias es 6,1. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 5,28sd = 6,1
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 100 frente a H₁: μ < 100 con α = 0.10 y una muestra de 36; se sabe que la desviación típica es 3. En realidad la media es 98.95. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 100μ = 98,95σ = 3n = 36α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 110Σy = 328Σx² = 2460Σy² = 22192Σxy = 7380
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3, 11). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3, 11)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,48
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 236/7 = 33,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−2,714)² + (−3,714)² + 20,29² + 7,286² + (−10,71)² + (−6,714)² + (−3,714)² = 659,4
Desviación típica
s = √(659,4/6) = 10,48
Respuesta
s = 10,48
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 0,4
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (104,8 − 100)/12 = 0,4
Respuesta
z = 0,4
3.Probabilidad
Respuesta: N = 126
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Respuesta
N = 126
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,03893
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 5) = 126·0,255·0,754 = 126·0,0009766·0,3164 = 0,03893
Respuesta
P = 0,03893
5.Distribución normal
Respuesta: z = −0,36
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,6406 = 0,3594
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,3594 dentro de la tabla y lee z.
z = −0,36
Respuesta
z = −0,36
6.Distribución normal
Respuesta: x = 75,4 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,85
z según la tabla
z ≈ 1,04
De vuelta a las unidades originales
x = 65 + 1,04·10 = 75,4 puntos
Respuesta
x = 75,4 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 1,45 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 12, t = 2,179
Margen de error
E = 2,179·2,4/√13 = 1,45
Respuesta
E = 1,45 mmHg
8.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 0,8126 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 15·1,1² = 18,15
Límites para σ²
18,15/27,488 = 0,6603
18,15/6,262 = 2,898
Límite para σ
σ = √0,6603 = 0,8126 µm
Respuesta
σ = 0,8126 µm
Intervalo del 95 % para σ: [0,8126, 1,702] µm.
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,998
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 6,1/√12 = 1,761
Estadístico de contraste
t = 5,28/1,761 = 2,998
Respuesta
t = 2,998
Con gl = 11, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,201; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 79,33 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 3/√36 = 0,5
x̄c = 100 − 1,282·0,5 = 99,36
z con la media verdadera
z = (99,36 − 98,95)/0,5 = 0,818
Potencia
potencia = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79,33%
Respuesta
1 − β = 79,33%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9979
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 7380 − 110·328/5 = 164
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 22192 − 328²/5 = 675,2
Coeficiente de correlación
r = 164/√(40·675,2) = 0,9979
Respuesta
r = 0,9979
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 3,35
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Recta de regresión
b = 42/40 = 1,05
a = 10,8 − 1,05·6 = 4,5
ŷ = 4,5 + 1,05·x
Valor predicho
ŷ = 4,5 + 1,05·3 = 7,65
Residuo
e = 11 − 7,65 = 3,35
Respuesta
e = 3,35
El punto está por encima de la recta.
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