Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 30, 46, 21, 24, 51.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 104?

μ = 100σ = 10x = 104

P =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

3 / 8

P =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 10 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,4, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 10p = 0,4

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,9534. Halla z con dos decimales.

A = 0,9534

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 25 elementos tiene media 57 y desviación típica s = 16. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 25x̄ = 57s = 1695%t(24) = 2,064

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 18. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?

σ = 18E = 0,590%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 30 piezas tiene una longitud media de 42,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 9 mm. Línea 2: una muestra de 30 piezas tiene una media de 34,6 mm, con desviación típica conocida de 12 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).

n₁ = 30x̄₁ = 42,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 34,6 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 60 de 200 pacientes con el tratamiento A y 54 de 150 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 54n₂ = 150

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (2,5, 41). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 41)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 13,39

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 172/5 = 34,4

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−4,4)² + 11,6² + (−13,4)² + (−10,4)² + 16,6² = 717,2

Desviación típica

s = √(717,2/4) = 13,39

Respuesta

s = 13,39

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,6554

Tipificar

z = 0,4

Tabla de la normal estándar

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Respuesta

P = 0,6554

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,05455

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Respuesta

P = 0,05455

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,04636

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,6¹⁰ = 0,006047

P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ = 0,04031

Súmalas

P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636

Respuesta

P = 0,04636

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,99

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = (1 + 0,9534)/2 = 0,9767

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,9767 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,99

Respuesta

z = 1,99

6.Distribución normal

Respuesta: x = 245,8 g

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Vuelta a x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Respuesta

x = 245,79 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 50,4

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Margen de error

E = 2,064·16/√25 = 6,605

Intervalo

57 ± 6,605 → [50,4, 63,6]

Respuesta

límite inferior = 50,4

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 3508

Despejar n

n = (1,645·18/0,5)² = 3507

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 3508

Respuesta

n = 3508

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 2,885

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Error típico de la diferencia

SE = √(9²/30 + 12²/30) = √7,5 = 2,739

Estadístico de contraste

z = (42,5 − 34,6)/2,739 = 2,885

Respuesta

z = 2,885

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,185

Proporciones muestrales

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 54/150 = 0,36

p̂ = 114/350 = 0,3257

Error típico bajo H₀

SE = √(0,3257·0,6743·(1/200 + 1/150)) = 0,05062

Estadístico de contraste

z = (0,3 − 0,36)/0,05062 = −1,185

Respuesta

z = −1,185

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9358

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 451/6 = 75,17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 718,8

Coeficiente de determinación

r² = 108,5²/(17,5·718,8) = 0,9358

Respuesta

r² = 0,9358

Aproximadamente el 93,58 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = −1,8

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 219/5 = 43,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20

Recta de regresión

b = 20/10 = 2

a = 43,8 − 2·3 = 37,8

ŷ = 37,8 + 2·x

Valor predicho

ŷ = 37,8 + 2·2,5 = 42,8

Residuo

e = 41 − 42,8 = −1,8

Respuesta

e = −1,8

El punto está por debajo de la recta.

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