Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 32, 16, 44, 41, 52.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 20. Calcula la puntuación z z de una nota de 150.

μ = 170σ = 20x = 150

z =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,05, 0,35, 0,15, 0,35

σ =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X + 5. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 55,5 y 83 puntos? Da P como número decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 55,5x₂ = 83

P =

6.Distribución normalDifícil

Los diámetros D de los agujeros son normales con media 25,03 mm y desviación típica 0,02 mm. Los diámetros d de los ejes son independientes y normales con media 25 mm y desviación típica 0,015 mm. Un eje elegido al azar encaja cuando D − d > 0. Halla la probabilidad P de que encaje. Redondea z a dos decimales.

agujero: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmeje: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 12 elementos tiene media 49,5 y desviación típica s = 4. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 12x̄ = 49,5s = 499%t(11) = 3,106

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 4. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?

σ = 4E = 195%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 80; se sabe que la desviación típica poblacional es 12. Una muestra aleatoria de 36 observaciones tiene una media de 77,36. Contrasta H₀: μ = 80 frente a H₁: μ < 80. Halla el p-valor p.

μ₀ = 80σ = 12n = 36x̄ = 77,36H₁: μ < μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 98 de 150 pacientes con el tratamiento A y 60 de 120 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 60n₂ = 120

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 18,5.

n = 6x = 18,5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 13,75

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 185/5 = 37

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−21)² + 7² + 4² + 15² = 756

Desviación típica

s = √(756/4) = 13,75

Respuesta

s = 13,75

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1

Tipificar

z = (150 − 170)/20 = −1

Respuesta

z = −1

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,281

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,1 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,15 + 5·0,35 = 3,6

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,15 + 25·0,35 = 14,6

Varianza

Var(X) = 14,6 − 3,6² = 1,64

σ = √1,64 = 1,281

Respuesta

σ = 1,281

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 107,1

Dispersión de X

μ = 24,5, Var(X) = 114,8, σ_X = 10,71

Cambio lineal

σ_Y = |10|·10,71 = 107,1

Respuesta

σ_Y = 107,1

La media sí se desplaza: E(Y) = 10·24,5 + 5 = 250.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,793

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95

z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Área entre ambos valores

P = Φ(1,8) − Φ(−0,95) = 0,9641 − 0,1711 = 0,793

Respuesta

P = 0,793

6.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8849

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución de la diferencia

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Tipificar

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Probabilidad

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Respuesta

P = 0,8849

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 53,09

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Margen de error

E = 3,106·4/√12 = 3,586

Intervalo

49,5 ± 3,586 → [45,91, 53,09]

Respuesta

límite superior = 53,09

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 62

Despejar n

n = (1,96·4/1)² = 61,47

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 62

Respuesta

n = 62

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,09342

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (77,36 − 80)/2 = −1,32

Área de la cola

Φ(1,32) = 0,9066

1 − Φ(1,32) = 0,0934

p-valor

p = 0,09342

Respuesta

p = 0,09342

p > 0,05, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 2,541

Proporciones muestrales

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 60/120 = 0,5

p̂ = 158/270 = 0,5852

Error típico bajo H₀

SE = √(0,5852·0,4148·(1/150 + 1/120)) = 0,06034

Estadístico de contraste

z = (0,6533 − 0,5)/0,06034 = 2,541

Respuesta

z = 2,541

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9389

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 18

Coeficiente de determinación

r² = −13²/(10·18) = 0,9389

Respuesta

r² = 0,9389

Aproximadamente el 93,89 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 92,19

Medias

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 639/6 = 106,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 751,5

Recta de regresión

b = 751,5/157,5 = 4,771

a = 106,5 − 4,771·21,5 = 3,914

ŷ = 3,914 + 4,771·x

Predicción

ŷ = 3,914 + 4,771·18,5 = 92,19

Respuesta

ŷ = 92,19

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