Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 31, 37, 29, 26, 28.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 26?

μ = 50σ = 20x = 26

P =

3.ProbabilidadMedia

¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 5 personas entre un grupo de 13? El orden no importa.

n = 13k = 5

N =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 8 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,1, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 8p = 0,1

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,1075. Halla z con dos decimales.

A = 0,1075

z =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 30 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 11 elementos tiene media 25 y desviación típica s = 18. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 11x̄ = 25s = 1895%t(10) = 2,228

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 40. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?

σ = 40E = 1,595%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 73,6 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,6s = 4n = 16

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 49 medidas tiene media 104,6. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 104,6σ = 20n = 4990%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (28,5, 59). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(28,5, 59)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 4,207

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 151/5 = 30,2

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 0,8² + 6,8² + (−1,2)² + (−4,2)² + (−2,2)² = 70,8

Desviación típica

s = √(70,8/4) = 4,207

Respuesta

s = 4,207

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,1151

Tipificar

z = −1,2

Tabla de la normal estándar

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Respuesta

P = 0,1151

3.Probabilidad

Respuesta: N = 1287

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaciones

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Respuesta

N = 1287

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,8131

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Súmalas

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Respuesta

P = 0,8131

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,24

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,1075 = 0,8925

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,8925 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,24

Respuesta

z = 1,24

6.Distribución normal

Respuesta: x = 247,4 g

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,3

z según la tabla

z ≈ −0,52

De vuelta a las unidades originales

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Respuesta

x = 247,4 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 37,09

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margen de error

E = 2,228·18/√11 = 12,09

Intervalo

25 ± 12,09 → [12,91, 37,09]

Respuesta

límite superior = 37,09

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 2732

Despejar n

n = (1,96·40/1,5)² = 2732

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 2732

Respuesta

n = 2732

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,4

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Estadístico de contraste

t = (73,6 − 75)/1 = −1,4

Respuesta

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 99,9

Margen de error

E = 1,645·20/√49 = 4,7

Límite del intervalo

L = 104,6 − 4,7 = 99,9

Respuesta

L = 99,9

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,8907

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 295/6 = 49,17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 234,8

Coeficiente de determinación

r² = 60,5²/(17,5·234,8) = 0,8907

Respuesta

r² = 0,8907

Aproximadamente el 89,07 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = −4,438

Medias

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 322/6 = 53,67

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

Recta de regresión

b = 513/157,5 = 3,257

a = 53,67 − 3,257·25,5 = −29,39

ŷ = −29,39 + 3,257·x

Valor predicho

ŷ = −29,39 + 3,257·28,5 = 63,44

Residuo

e = 59 − 63,44 = −4,438

Respuesta

e = −4,438

El punto está por debajo de la recta.

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