Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 40, 46, 28, 17, 38, 28, 24.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 5. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 62,5?
μ = 70σ = 5x = 62,5
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1
σ =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = −2X + 5. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,05, 0,35Y = −2X + 5
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,9750. Halla z con dos decimales.
A = 0,9750
z =
6.Distribución normalDifícil
Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 80 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 100 móviles, media 130 h, desviación típica conocida 20 h. Modelo 2: 100 móviles, media 123,5 h, desviación típica conocida 4 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 130 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 123,5 hσ₂ = 4 h90%
límite superior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 39. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 39E = 590%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
11 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 1,1 y la desviación típica de las diferencias es 2,8. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 1,1sd = 2,8
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 49 medidas tiene media 101,8. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 101,8σ = 5n = 4990%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,13
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 221/7 = 31,57
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 8,429² + 14,43² + (−3,571)² + (−14,57)² + 6,429² + (−3,571)² + (−7,571)² = 615,7
Desviación típica
s = √(615,7/6) = 10,13
Respuesta
s = 10,13
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,06681
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,5
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Respuesta
P = 0,06681
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 1,819
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,35 + 6·0,1 = 2,7
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,35 + 36·0,1 = 10,6
Varianza
Var(X) = 10,6 − 2,7² = 3,31
σ = √3,31 = 1,819
Respuesta
σ = 1,819
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 24,08
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 25, Var(X) = 145, σX = 12,04
Cambio lineal
σY = |−2|·12,04 = 24,08
Respuesta
σY = 24,08
La media sí se desplaza: E(Y) = −2·25 + 5 = −45.
5.Distribución normal
Respuesta: z = −1,96
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,9750 = 0,0250
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,0250 dentro de la tabla y lee z.
z = −1,96
Respuesta
z = −1,96
6.Distribución normal
Respuesta: x = 254,2 g
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,8
z según la tabla
z ≈ 0,84
De vuelta a las unidades originales
x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g
Respuesta
x = 254,2 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 9,855 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 130 − 123,5 = 6,5
Error típico
SE = √(20²/100 + 4²/100) = 2,04
Margen de error
E = 1,645·2,04 = 3,355
Intervalo
6,5 ± 3,355 → [3,145, 9,855]
Respuesta
límite superior = 9,855 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 165
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·39/5)² = 164,6
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 165
Respuesta
n = 165
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,303
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 2,8/√11 = 0,8442
Estadístico de contraste
t = 1,1/0,8442 = 1,303
Respuesta
t = 1,303
Con gl = 10, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,228; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 100,6
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·5/√49 = 1,175
Límite del intervalo
L = 101,8 − 1,175 = 100,6
Respuesta
L = 100,6
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9375
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 372/6 = 62
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Syy = Σ(y − ȳ)² = 356
Coeficiente de correlación
r = 74/√(17,5·356) = 0,9375
Respuesta
r = 0,9375
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 17,9
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 108/5 = 21,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Recta de regresión
b = 148/40 = 3,7
a = 21,6 − 3,7·6 = −0,6
ŷ = −0,6 + 3,7·x
Predicción
ŷ = −0,6 + 3,7·5 = 17,9
Respuesta
ŷ = 17,9
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