Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 17, 58, 56, 45, 28.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 76?

μ = 60σ = 8x = 76

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15

σ =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X + 1. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,9890. Halla z con dos decimales.

A = 0,9890

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 90 % de los datos (el percentil 90).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 60 móviles, media 112,5 h, desviación típica conocida 18 h. Modelo 2: 80 móviles, media 122,5 h, desviación típica conocida 11 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 112,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 122,5 hσ₂ = 11 h99%

límite inferior = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 20 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 7,2 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 19, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 8,907 y el 2,5 % queda por encima de 32,852.

n = 20s = 7,2 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 80 piezas tiene una longitud media de 133,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 18 mm. Línea 2: una muestra de 100 piezas tiene una media de 131,4 mm, con desviación típica conocida de 5 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).

n₁ = 80x̄₁ = 133,5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 131,4 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 40 de 200 pacientes con el tratamiento A y 23 de 250 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 23n₂ = 250

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 42Σy = 452Σx² = 364Σy² = 35956Σxy = 3528

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (1,5, 25). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 25)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 17,85

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 204/5 = 40,8

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−23,8)² + 17,2² + 15,2² + 4,2² + (−12,8)² = 1275

Desviación típica

s = √(1275/4) = 17,85

Respuesta

s = 17,85

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,02275

Tipificar

z = 2

Tabla de la normal estándar

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Respuesta

P = 0,02275

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,014

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2,35

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,15 = 6,55

Varianza

Var(X) = 6,55 − 2,35² = 1,027

σ = √1,027 = 1,014

Respuesta

σ = 1,014

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 10,54

Dispersión de X

μ = 2,6, Var(X) = 4,44, σ_X = 2,107

Cambio lineal

σ_Y = |5|·2,107 = 10,54

Respuesta

σ_Y = 10,54

La media sí se desplaza: E(Y) = 5·2,6 + 1 = 14.

5.Distribución normal

Respuesta: z = −2,29

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,9890 = 0,0110

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,0110 dentro de la tabla y lee z.

z = −2,29

Respuesta

z = −2,29

6.Distribución normal

Respuesta: x = 77,82 puntos

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Vuelta a x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 puntos

Respuesta

x = 77,82 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −16,77 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 112,5 − 122,5 = −10

Error típico

SE = √(18²/60 + 11²/80) = 2,629

Margen de error

E = 2,576·2,629 = 6,773

Intervalo

−10 ± 6,773 → [−16,77, −3,227]

Respuesta

límite inferior = −16,77 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 10,52 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 19·7,2² = 985

Límites para σ²

985/32,852 = 29,98

985/8,907 = 110,6

Límite para σ

σ = √110,6 = 10,52 µm

Respuesta

σ = 10,52 µm

Intervalo del 95 % para σ: [5,476, 10,52] µm.

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 1,013

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Error típico de la diferencia

SE = √(18²/80 + 5²/100) = √4,3 = 2,074

Estadístico de contraste

z = (133,5 − 131,4)/2,074 = 1,013

Respuesta

z = 1,013

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 3,281

Proporciones muestrales

p̂₁ = 40/200 = 0,2

p̂₂ = 23/250 = 0,092

p̂ = 63/450 = 0,14

Error típico bajo H₀

SE = √(0,14·0,86·(1/200 + 1/250)) = 0,03292

Estadístico de contraste

z = (0,2 − 0,092)/0,03292 = 3,281

Respuesta

z = 3,281

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9967

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 3528 − 42·452/6 = 364

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 35956 − 452²/6 = 1905

Coeficiente de correlación

r = 364/√(70·1905) = 0,9967

Respuesta

r = 0,9967

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = 4,7

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 85/5 = 17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Recta de regresión

b = −22/10 = −2,2

a = 17 − (−2,2)·3 = 23,6

ŷ = 23,6 − 2,2·x

Valor predicho

ŷ = 23,6 + (−2,2)·1,5 = 20,3

Residuo

e = 25 − 20,3 = 4,7

Respuesta

e = 4,7

El punto está por encima de la recta.

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