Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 41, 41, 18, 41, 43.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 65?

μ = 70σ = 10x = 65

P =

3.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 8 bolas rojas y 3 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

8 / 3

P =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 25 € con probabilidad 0,25 y 100 € con probabilidad 0,02; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €5€25: p = 0,25€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción está entre 27,5 y 41,3 min? Da P como número decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 41,3

P =

6.Distribución normalDifícil

Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 30 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 6 elementos tiene media 27,5 y desviación típica s = 11. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 6x̄ = 27,5s = 1190%t(5) = 2,015

E =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 40. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?

σ = 40E = 595%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 5 estudiantes, nota media 92,5, desviación típica 5. Grupo 2: 7 estudiantes, nota media 97,6, desviación típica 3. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 5x̄₁ = 92,5s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 97,6s₂ = 3

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 81 medidas tiene media 498,8. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.

x̄ = 498,8σ = 4n = 8190%

U =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 65?

n = 6ŷ = 65

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 10,55

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 184/5 = 36,8

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 4,2² + 4,2² + (−18,8)² + 4,2² + 6,2² = 444,8

Desviación típica

s = √(444,8/4) = 10,55

Respuesta

s = 10,55

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,3085

Tipificar

z = −0,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Respuesta

P = 0,3085

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,5091

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091

Respuesta

P = 0,5091

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = 3,25 €

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Resultados netos

G: 20 (p = 0,25), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Valor esperado

E(G) = 20·0,25 + 95·0,02 − 5·0,73 = 3,25 €

Respuesta

E(G) = 3,25 €

Un valor positivo significa que ganas dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,7128

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Área entre ambos valores

P = Φ(1,55) − Φ(−0,75) = 0,9394 − 0,2266 = 0,7128

Respuesta

P = 0,7128

6.Distribución normal

Respuesta: x = 479 h

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,3

z según la tabla

z ≈ −0,52

De vuelta a las unidades originales

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Respuesta

x = 479 h

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 9,049

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margen de error

E = 2,015·11/√6 = 9,049

Respuesta

E = 9,049

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 246

Despejar n

n = (1,96·40/5)² = 245,9

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 246

Respuesta

n = 246

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,219

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinada

s_p² = (4·5² + 6·3²)/10 = 15,4

s_p = 3,924

Error típico

SE = 3,924·√(1/5 + 1/7) = 2,298

Estadístico de contraste

t = (92,5 − 97,6)/2,298 = −2,219

Respuesta

t = −2,219

Con gl = 10, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,228; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 499,5

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Límite del intervalo

U = 498,8 + 0,7311 = 499,5

Respuesta

U = 499,5

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9452

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 357/5 = 71,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 489,2

Coeficiente de determinación

r² = 68²/(10·489,2) = 0,9452

Respuesta

r² = 0,9452

Aproximadamente el 94,52 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 6,331

Medias

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 382/6 = 63,67

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282

Recta de regresión

b = 282/70 = 4,029

a = 63,67 − 4,029·6 = 39,5

ŷ = 39,5 + 4,029·x

Despeja x

x = (65 − 39,5)/4,029 = 6,331

Respuesta

x = 6,331

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