Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 57, 13, 18, 14, 60, 59.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 147,5?

μ = 170σ = 15x = 147,5

P =

3.ProbabilidadMedia

¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 11? El orden no importa.

n = 11k = 4

N =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 1 €. Ganas 3 € con probabilidad 0,2 y 50 € con probabilidad 0,05; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €1€3: p = 0,2€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,2981. Halla z con dos decimales.

A = 0,2981

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 50 móviles, media 127 h, desviación típica conocida 16 h. Modelo 2: 80 móviles, media 136,5 h, desviación típica conocida 17 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 127 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 136,5 hσ₂ = 17 h95%

límite inferior = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 9 parcelas, rendimiento medio 33,5 kg, desviación típica 8 kg. Grupo de parcelas 2: 7 parcelas, media 37,5 kg, desviación típica 9 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 33,5s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 37,5s₂ = 990%t(14) = 1,761

límite superior = kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se afirma que la media de una población es 100; se sabe que la desviación típica poblacional es 20. Una muestra aleatoria de 64 observaciones tiene una media de 95,5. Contrasta H₀: μ = 100 frente a H₁: μ < 100. Halla el p-valor p.

μ₀ = 100σ = 20n = 64x̄ = 95,5H₁: μ < μ₀

p =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 150 de 250 pacientes con el tratamiento A y 100 de 150 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 100n₂ = 150

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 62?

n = 6ŷ = 62

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 24

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 221/6 = 36,83

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 20,17² + (−23,83)² + (−18,83)² + (−22,83)² + 23,17² + 22,17² = 2879

Desviación típica

s = √(2879/5) = 24

Respuesta

s = 24

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,9332

Tipificar

z = −1,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Respuesta

P = 0,9332

3.Probabilidad

Respuesta: N = 330

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaciones

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Respuesta

N = 330

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = 2,1 €

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Resultados netos

G: 2 (p = 0,2), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Valor esperado

E(G) = 2·0,2 + 49·0,05 − 1·0,75 = 2,1 €

Respuesta

E(G) = 2,1 €

Un valor positivo significa que ganas dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: z = 0,53

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,2981 = 0,7019

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,7019 dentro de la tabla y lee z.

z = 0,53

Respuesta

z = 0,53

6.Distribución normal

Respuesta: x = 84,6 puntos

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Vuelta a x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puntos

Respuesta

x = 84,6 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −15,29 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 127 − 136,5 = −9,5

Error típico

SE = √(16²/50 + 17²/80) = 2,955

Margen de error

E = 1,96·2,955 = 5,792

Intervalo

−9,5 ± 5,792 → [−15,29, −3,708]

Respuesta

límite inferior = −15,29 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 3,493 kg

Desviación típica combinada

s_p² = (8·8² + 6·9²)/14 = 71,29

s_p = 8,443

Margen de error

E = 1,761·8,443·√(1/9 + 1/7) = 7,493

Intervalo

−4 ± 7,493 → [−11,49, 3,493]

Respuesta

límite superior = 3,493 kg

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: p = 0,03593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estadístico de contraste

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (95,5 − 100)/2,5 = −1,8

Área de la cola

Φ(1,8) = 0,9641

1 − Φ(1,8) = 0,0359

p-valor

p = 0,03593

Respuesta

p = 0,03593

p ≤ 0,05, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 %.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,333

Proporciones muestrales

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 100/150 = 0,6667

p̂ = 250/400 = 0,625

Error típico bajo H₀

SE = √(0,625·0,375·(1/250 + 1/150)) = 0,05

Estadístico de contraste

z = (0,6 − 0,6667)/0,05 = −1,333

Respuesta

z = −1,333

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9662

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 258/6 = 43

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 382

Coeficiente de correlación

r = 79/√(17,5·382) = 0,9662

Respuesta

r = 0,9662

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 6,087

Medias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 423/6 = 70,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 311

Recta de regresión

b = 311/70 = 4,443

a = 70,5 − 4,443·8 = 34,96

ŷ = 34,96 + 4,443·x

Despeja x

x = (62 − 34,96)/4,443 = 6,087

Respuesta

x = 6,087

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