Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 47, 34, 35, 43, 56.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 92,5?
μ = 100σ = 15x = 92,5
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,2, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X + 5. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,15, 0,15Y = 10X + 5
σY =
5.Distribución normalMedia
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 490 y 560 h? Da P como número decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 560
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 99 % de los datos (el percentil 99).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 16 elementos tiene media 37 y desviación típica s = 10. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 16x̄ = 37s = 1090%t(15) = 1,753
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 10. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 4?
σ = 10E = 499%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
12 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 0,95 y la desviación típica de las diferencias es 1,5. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 0,95sd = 1,5
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 50 frente a H₁: μ < 50 con α = 0.10 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 15. En realidad la media es 45.95. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 50μ = 45,95σ = 15n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 5Σx = 110Σy = 272Σx² = 2460Σy² = 15258Σxy = 6102
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 9,083
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 215/5 = 43
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 4² + (−9)² + (−8)² + 0² + 13² = 330
Desviación típica
s = √(330/4) = 9,083
Respuesta
s = 9,083
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,6915
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −0,5
Tabla de la normal estándar
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Respuesta
P = 0,6915
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 1,728
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,35
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,25
Varianza
Var(X) = 7,25 − 2,35² = 1,728
Respuesta
Var(X) = 1,728
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 13,64
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,8, Var(X) = 1,86, σX = 1,364
Cambio lineal
σY = |10|·1,364 = 13,64
Respuesta
σY = 13,64
La media sí se desplaza: E(Y) = 10·2,8 + 5 = 33.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,5319
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Área entre ambos valores
P = Φ(1,5) − Φ(−0,25) = 0,9332 − 0,4013 = 0,5319
Respuesta
P = 0,5319
6.Distribución normal
Respuesta: x = 261,6 g
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Vuelta a x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Respuesta
x = 261,63 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 41,38
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margen de error
E = 1,753·10/√16 = 4,382
Intervalo
37 ± 4,382 → [32,62, 41,38]
Respuesta
límite superior = 41,38
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 42
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·10/4)² = 41,47
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 42
Respuesta
n = 42
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,194
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 1,5/√12 = 0,433
Estadístico de contraste
t = 0,95/0,433 = 2,194
Respuesta
t = 2,194
Con gl = 11, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,201; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 92,19 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 50 − 1,282·1,5 = 48,08
z con la media verdadera
z = (48,08 − 45,95)/1,5 = 1,418
Potencia
potencia = P(Z < 1.418) = 92.19%
1 − β = 92,19%
Respuesta
1 − β = 92,19%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,8688
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 6102 − 110·272/5 = 118
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 15258 − 272²/5 = 461,2
Coeficiente de correlación
r = 118/√(40·461,2) = 0,8688
Respuesta
r = 0,8688
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 19,95
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 69/5 = 13,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Recta de regresión
b = 82/40 = 2,05
a = 13,8 − 2,05·6 = 1,5
ŷ = 1,5 + 2,05·x
Predicción
ŷ = 1,5 + 2,05·9 = 19,95
Respuesta
ŷ = 19,95
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