Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 25, 37, 41, 53, 41, 39.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 100. Calcula la puntuación z z de una nota de 350.
μ = 500σ = 100x = 350
z =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 6 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
6 / 8
P =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 7 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 7p = 0,3
P =
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 120 mm y desviación típica 0,3 mm; Y es independiente y normal con media 80 mm y desviación típica 0,4 mm. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 200,3 mm. Redondea z a dos decimales.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,3 mm
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 10 % de los datos (el percentil 10).
μ = 65σ = 10P = 10%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 21 elementos tiene media 17,5 y desviación típica s = 18. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 21x̄ = 17,5s = 1895%t(20) = 2,086
límite inferior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 17. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 17E = 199%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Se afirma que la media de una población es 500; se sabe que la desviación típica poblacional es 10. Una muestra aleatoria de 25 observaciones tiene una media de 495,72. Contrasta H₀: μ = 500 frente a H₁: μ ≠ 500. Halla el p-valor p.
μ₀ = 500σ = 10n = 25x̄ = 495,72H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 64 medidas tiene media 127,5. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.
x̄ = 127,5σ = 20n = 6495%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 121?
n = 6ŷ = 121
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 8,981
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 236/6 = 39,33
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−14,33)² + (−2,333)² + 1,667² + 13,67² + 1,667² + (−0,3333)² = 403,3
Desviación típica
s = √(403,3/5) = 8,981
Respuesta
s = 8,981
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1,5
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (350 − 500)/100 = −1,5
Respuesta
z = −1,5
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1648
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648
Respuesta
P = 0,1648
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,3294
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,77 = 0,08235
P(X = 1) = 7·0,3·0,76 = 0,2471
Súmalas
P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294
Respuesta
P = 0,3294
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,2743
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Tipificar
z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6
Cola superior
P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
Respuesta
P = 0,2743
6.Distribución normal
Respuesta: x = 52,18 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Vuelta a x
x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puntos
Respuesta
x = 52,18 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = 9,306
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margen de error
E = 2,086·18/√21 = 8,194
Intervalo
17,5 ± 8,194 → [9,306, 25,69]
Respuesta
límite inferior = 9,306
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 1918
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·17/1)² = 1918
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 1918
Respuesta
n = 1918
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: p = 0,03235
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estadístico de contraste
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (495,72 − 500)/2 = −2,14
Área de la cola
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
p-valor
p = 2·0,0162 = 0,03235
Respuesta
p = 0,03235
p ≤ 0,05, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 %.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 132,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,96·20/√64 = 4,9
Límite del intervalo
U = 127,5 + 4,9 = 132,4
Respuesta
U = 132,4
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9984
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 124/5 = 24,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Syy = Σ(y − ȳ)² = 594,8
Coeficiente de correlación
r = 154/√(40·594,8) = 0,9984
Respuesta
r = 0,9984
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 24,03
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 589/6 = 98,17
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 397
Recta de regresión
b = 397/70 = 5,671
a = 98,17 − 5,671·20 = −15,26
ŷ = −15,26 + 5,671·x
Despeja x
x = (121 − (−15,26))/5,671 = 24,03
Respuesta
x = 24,03
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