Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 58, 21, 28, 53, 32, 50.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 60 y desviación típica 5. Calcula la puntuación z z de una nota de 55.

μ = 60σ = 5x = 55

z =

3.ProbabilidadMedia

¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 6? El orden no importa.

n = 6k = 4

N =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 5 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 5p = 0,25

P =

5.Distribución normalMedia

Las masas de sacos de cemento son independientes y normales con media 25 kg y desviación típica 0,5 kg. Halla la probabilidad P de que la masa total de 10 de ellos supere 248,4 kg. Redondea z a dos decimales.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 248,4 kg

P =

6.Distribución normalDifícil

Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 40 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 30 móviles, media 126 h, desviación típica conocida 20 h. Modelo 2: 80 móviles, media 136,5 h, desviación típica conocida 7 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 126 hσ₁ = 20 hn₂ = 80x̄₂ = 136,5 hσ₂ = 7 h99%

límite superior = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 30 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 1,4 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 29, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 16,047 y el 2,5 % queda por encima de 45,722.

n = 30s = 1,4 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 80 piezas tiene una longitud media de 133 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 14 mm. Línea 2: una muestra de 50 piezas tiene una media de 127,7 mm, con desviación típica conocida de 5 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).

n₁ = 80x̄₁ = 133 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 50x̄₂ = 127,7 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 75 de 250 pacientes con el tratamiento A y 40 de 100 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 40n₂ = 100

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 15,24

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 242/6 = 40,33

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 17,67² + (−19,33)² + (−12,33)² + 12,67² + (−8,333)² + 9,667² = 1161

Desviación típica

s = √(1161/5) = 15,24

Respuesta

s = 15,24

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1

Tipificar

z = (55 − 60)/5 = −1

Respuesta

z = −1

3.Probabilidad

Respuesta: N = 15

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaciones

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Respuesta

N = 15

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,6328

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Súmalas

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Respuesta

P = 0,6328

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8438

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución del total

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Tipificar

z = (248,4 − 250)/1,581 = −1,01

Probabilidad

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Respuesta

P = 0,8438

6.Distribución normal

Respuesta: x = 490 h

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,4

z según la tabla

z ≈ −0,25

De vuelta a las unidades originales

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Respuesta

x = 490 h

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = −0,8802 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 126 − 136,5 = −10,5

Error típico

SE = √(20²/30 + 7²/80) = 3,734

Margen de error

E = 2,576·3,734 = 9,62

Intervalo

−10,5 ± 9,62 → [−20,12, −0,8802]

Respuesta

límite superior = −0,8802 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 1,115 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 29·1,4² = 56,84

Límites para σ²

56,84/45,722 = 1,243

56,84/16,047 = 3,542

Límite para σ

σ = √1,243 = 1,115 µm

Respuesta

σ = 1,115 µm

Intervalo del 95 % para σ: [1,115, 1,882] µm.

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 3,086

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Error típico de la diferencia

SE = √(14²/80 + 5²/50) = √2,95 = 1,718

Estadístico de contraste

z = (133 − 127,7)/1,718 = 3,086

Respuesta

z = 3,086

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = −1,799

Proporciones muestrales

p̂₁ = 75/250 = 0,3

p̂₂ = 40/100 = 0,4

p̂ = 115/350 = 0,3286

Error típico bajo H₀

SE = √(0,3286·0,6714·(1/250 + 1/100)) = 0,05557

Estadístico de contraste

z = (0,3 − 0,4)/0,05557 = −1,799

Respuesta

z = −1,799

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,6923

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 20,8

Coeficiente de determinación

r² = −12²/(10·20,8) = 0,6923

Respuesta

r² = 0,6923

Aproximadamente el 69,23 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 46,05

Medias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 244/5 = 48,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Recta de regresión

b = 110/40 = 2,75

a = 48,8 − 2,75·6 = 32,3

ŷ = 32,3 + 2,75·x

Predicción

ŷ = 32,3 + 2,75·5 = 46,05

Respuesta

ŷ = 46,05

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