Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 47, 55, 28, 24, 33.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 50 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 53,2.

μ = 50σ = 8x = 53,2

z =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Se prueban 6 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?

n = 6p = 0,5

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,9164. Halla z con dos decimales.

A = 0,9164

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 6 elementos tiene media 70,5 y desviación típica s = 8,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 6x̄ = 70,5s = 8,590%t(5) = 2,015

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 20 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 0,8 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 19, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 8,907 y el 2,5 % queda por encima de 32,852.

n = 20s = 0,8 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 78,4 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,4s = 8n = 16

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 99 % para una media tenga un margen de error de como mucho 2? La desviación típica es 10. Calcula el menor tamaño muestral n.

σ = 10E = 299%

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (7, 8). Halla su residuo e = y − ŷ.

n = 6(7, 8)

e =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 13,13

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 187/5 = 37,4

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 9,6² + 17,6² + (−9,4)² + (−13,4)² + (−4,4)² = 689,2

Desviación típica

s = √(689,2/4) = 13,13

Respuesta

s = 13,13

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = 0,4

Tipificar

z = (53,2 − 50)/8 = 0,4

Respuesta

z = 0,4

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,02

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,6

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,6

Varianza

Var(X) = 3,6 − 1,6² = 1,04

σ = √1,04 = 1,02

Respuesta

σ = 1,02

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,1094

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Cero y un fallo

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Súmalas

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Respuesta

P = 0,1094

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,73

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = (1 + 0,9164)/2 = 0,9582

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,9582 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,73

Respuesta

z = 1,73

6.Distribución normal

Respuesta: x = 27,95 min

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Vuelta a x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Respuesta

x = 27,95 min

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 77,49

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margen de error

E = 2,015·8,5/√6 = 6,992

Intervalo

70,5 ± 6,992 → [63,51, 77,49]

Respuesta

límite superior = 77,49

8.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 0,6084 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 19·0,8² = 12,16

Límites para σ²

12,16/32,852 = 0,3701

12,16/8,907 = 1,365

Límite para σ

σ = √0,3701 = 0,6084 µm

Respuesta

σ = 0,6084 µm

Intervalo del 95 % para σ: [0,6084, 1,168] µm.

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 1,7

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Estadístico de contraste

t = (78,4 − 75)/2 = 1,7

Respuesta

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 166

Despejar n

n = (2,576·10/2)² = 165,9

Redondear hacia arriba

n = 166

Respuesta

n = 166

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,912

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 410/6 = 68,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 717,3

Coeficiente de determinación

r² = 214²/(70·717,3) = 0,912

Respuesta

r² = 0,912

Aproximadamente el 91,2 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: e = −3,167

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 67/6 = 11,17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111

Recta de regresión

b = 111/70 = 1,586

a = 11,17 − 1,586·7 = 0,06667

ŷ = 0,06667 + 1,586·x

Valor predicho

ŷ = 0,06667 + 1,586·7 = 11,17

Residuo

e = 8 − 11,17 = −3,167

Respuesta

e = −3,167

El punto está por debajo de la recta.

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