Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 10, 49, 29, 60, 38.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 82?

μ = 100σ = 15x = 82

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,05, 0,05, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 3 €. Ganas 6 € con probabilidad 0,2 y 150 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €3€6: p = 0,2€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 166,8 y 186,75 cm? Da P como número decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 186,75

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 10 elementos tiene media 82,5 y desviación típica s = 17. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 10x̄ = 82,5s = 1799%t(9) = 3,25

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 23. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?

σ = 23E = 1,590%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

16 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 4 y la desviación típica de las diferencias es 4,1. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 4s_d = 4,1

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 16 medidas tiene media 97,6. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.

x̄ = 97,6σ = 4n = 1695%

U =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 5Σx = 30Σy = 135Σx² = 220Σy² = 4389Σxy = 982

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 19,15

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 186/5 = 37,2

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−27,2)² + 11,8² + (−8,2)² + 22,8² + 0,8² = 1467

Desviación típica

s = √(1467/4) = 19,15

Respuesta

s = 19,15

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,1151

Tipificar

z = −1,2

Tabla de la normal estándar

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Respuesta

P = 0,1151

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 2,89

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,05 + 4·0,35 = 1,9

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,05 + 16·0,35 = 6,5

Varianza

Var(X) = 6,5 − 1,9² = 2,89

Respuesta

Var(X) = 2,89

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,3 €

Resultados netos

G: 3 (p = 0,2), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Valor esperado

E(G) = 3·0,2 + 147·0,01 − 3·0,79 = −0,3 €

Respuesta

E(G) = −0,3 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8396

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Área entre ambos valores

P = Φ(1,25) − Φ(−1,6) = 0,8944 − 0,0548 = 0,8396

Respuesta

P = 0,8396

6.Distribución normal

Respuesta: x = 189,5 cm

z del percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Vuelta a x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Respuesta

x = 189,51 cm

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 65,03

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Margen de error

E = 3,25·17/√10 = 17,47

Intervalo

82,5 ± 17,47 → [65,03, 99,97]

Respuesta

límite inferior = 65,03

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 637

Despejar n

n = (1,645·23/1,5)² = 636,2

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 637

Respuesta

n = 637

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 3,902

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Error típico de la diferencia media

SE = 4,1/√16 = 1,025

Estadístico de contraste

t = 4/1,025 = 3,902

Respuesta

t = 3,902

Con gl = 15, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,131; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 99,56

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 1,96·4/√16 = 1,96

Límite del intervalo

U = 97,6 + 1,96 = 99,56

Respuesta

U = 99,56

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,997

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 982 − 30·135/5 = 172

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4389 − 135²/5 = 744

Coeficiente de correlación

r = 172/√(40·744) = 0,997

Respuesta

r = 0,997

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 56,75

Medias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 305/5 = 61

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

Recta de regresión

b = 170/40 = 4,25

a = 61 − 4,25·7 = 31,25

ŷ = 31,25 + 4,25·x

Predicción

ŷ = 31,25 + 4,25·6 = 56,75

Respuesta

ŷ = 56,75

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