Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 20, 25, 35, 16, 18, 12, 24.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 26?
μ = 50σ = 20x = 26
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,1, 0,2, 0,3, 0,15
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = −2X + 20. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3Y = −2X + 20
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,8132. Halla z con dos decimales.
A = 0,8132
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 80 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 7 elementos tiene media 118 y desviación típica s = 10. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 7x̄ = 118s = 1095%t(6) = 2,447
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 10. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?
σ = 10E = 2,599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 50,53 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,53s = 4n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 2 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 8. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,01potencia = 90%δ = 2σ = 8zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 7,48
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 150/7 = 21,43
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−1,429)² + 3,571² + 13,57² + (−5,429)² + (−3,429)² + (−9,429)² + 2,571² = 335,7
Desviación típica
s = √(335,7/6) = 7,48
Respuesta
s = 7,48
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8849
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,2
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 2
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,15 = 6
Varianza
Var(X) = 6 − 2² = 2
Respuesta
Var(X) = 2
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 24,06
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 24,5, Var(X) = 144,8, σX = 12,03
Cambio lineal
σY = |−2|·12,03 = 24,06
Respuesta
σY = 24,06
La media sí se desplaza: E(Y) = −2·24,5 + 20 = −29.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 1,32
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,8132)/2 = 0,9066
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9066 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,32
Respuesta
z = 1,32
6.Distribución normal
Respuesta: x = 466 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,2
z según la tabla
z ≈ −0,84
De vuelta a las unidades originales
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Respuesta
x = 466 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 127,2
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Margen de error
E = 2,447·10/√7 = 9,249
Intervalo
118 ± 9,249 → [108,8, 127,2]
Respuesta
límite superior = 127,2
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 107
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·10/2,5)² = 106,2
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 107
Respuesta
n = 107
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,193
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Estadístico de contraste
t = (50,53 − 50)/0,4444 = 1,193
Respuesta
t = 1,193
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 209
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((2,326 + 1,282)·8/2)² = 208,3
Redondear hacia arriba
n = 209
Respuesta
n = 209
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9273
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 278/5 = 55,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 279,2
Coeficiente de correlación
r = 98/√(40·279,2) = 0,9273
Respuesta
r = 0,9273
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 47,45
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 187/6 = 31,17
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285
Recta de regresión
b = 285/70 = 4,071
a = 31,17 − 4,071·7 = 2,667
ŷ = 2,667 + 4,071·x
Predicción
ŷ = 2,667 + 4,071·11 = 47,45
Respuesta
ŷ = 47,45
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