Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 28, 21, 35, 37, 35, 24.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 82?
μ = 100σ = 15x = 82
P =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 8
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,7, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 1?
n = 10p = 0,7k = 1
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 500 y 510 h? Da P como número decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 510
P =
6.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 70 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Se mide la tensión arterial de 10 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 5,7 y desviación típica 1,3. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media.
n = 10d̄ = 5,7sd = 1,395%t(9) = 2,262
E = mmHg
8.Intervalos de confianzaDifícil
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,3 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 99 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,025?
p ≈ 0,3E = 0,02599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
6 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 3,16 y la desviación típica de las diferencias es 2,5. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 3,16sd = 2,5
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 25 medidas tiene media 201,6. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 95 % para la media.
x̄ = 201,6σ = 4n = 2595%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 118Σx² = 91Σy² = 2452Σxy = 369
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3,5, 56). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 56)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 6,633
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 180/6 = 30
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−9)² + 5² + 7² + 5² + (−6)² = 220
Desviación típica
s = √(220/5) = 6,633
Respuesta
s = 6,633
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8849
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,2
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,7674
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Respuesta
P = 0,7674
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,0001378
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 10·0,71·0,39 = 10·0,7·1,968 × 10⁻⁵ = 0,0001378
Respuesta
P = 0,0001378
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,09871
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25
Área entre ambos valores
P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871
Respuesta
P = 0,09871
6.Distribución normal
Respuesta: x = 521 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,7
z según la tabla
z ≈ 0,52
De vuelta a las unidades originales
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Respuesta
x = 521 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 0,9299 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 9, t = 2,262
Margen de error
E = 2,262·1,3/√10 = 0,9299
Respuesta
E = 0,9299 mmHg
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 2230
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Despejar n
n = 2,576²·0,3·0,7/0,025² = 2230
Redondear hacia arriba
n = 2230
Respuesta
n = 2230
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 3,096
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 2,5/√6 = 1,021
Estadístico de contraste
t = 3,16/1,021 = 3,096
Respuesta
t = 3,096
Con gl = 5, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,571; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 200
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,96·4/√25 = 1,568
Límite del intervalo
L = 201,6 − 1,568 = 200
Respuesta
L = 200
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9178
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 369 − 21·118/6 = −44
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2452 − 118²/6 = 131,3
Coeficiente de correlación
r = −44/√(17,5·131,3) = −0,9178
Respuesta
r = −0,9178
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 3,9
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 277/5 = 55,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Recta de regresión
b = 66/10 = 6,6
a = 55,4 − 6,6·4 = 29
ŷ = 29 + 6,6·x
Valor predicho
ŷ = 29 + 6,6·3,5 = 52,1
Residuo
e = 56 − 52,1 = 3,9
Respuesta
e = 3,9
El punto está por encima de la recta.
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