Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 35, 27, 54, 46, 36, 38, 52.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 95?

μ = 100σ = 10x = 95

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X + 1. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 88 y 127,75 puntos? Da P como número decimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 127,75

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 60 móviles, media 140,5 h, desviación típica conocida 11 h. Modelo 2: 40 móviles, media 141,5 h, desviación típica conocida 18 h. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 140,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 141,5 hσ₂ = 18 h99%

E = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 39. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?

σ = 39E = 1,590%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

9 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 5,95 y la desviación típica de las diferencias es 11,9. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μ_d = 0.

n = 9d̄ = 5,95s_d = 11,9

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 500 frente a H₁: μ > 500 con α = 0,01 y una muestra de 25; se sabe que la desviación típica es 10. En realidad la media es 506,8. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.

μ₀ = 500μ = 506,8σ = 10n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 5Σx = 100Σy = 536Σx² = 2040Σy² = 59784Σxy = 11024

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 9,839

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 288/7 = 41,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + (−14,14)² + 12,86² + 4,857² + (−5,143)² + (−3,143)² + 10,86² = 580,9

Desviación típica

s = √(580,9/6) = 9,839

Respuesta

s = 9,839

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,6915

Tipificar

z = −0,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Respuesta

P = 0,6915

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,26

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,2 + 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,8

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,5

Varianza

Var(X) = 4,5 − 1,8² = 1,26

Respuesta

Var(X) = 1,26

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 6,225

Dispersión de X

μ = 2,5, Var(X) = 1,55, σ_X = 1,245

Cambio lineal

σ_Y = |5|·1,245 = 6,225

Respuesta

σ_Y = 6,225

La media sí se desplaza: E(Y) = 5·2,5 + 1 = 13,5.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,756

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Área entre ambos valores

P = Φ(1,85) − Φ(−0,8) = 0,9678 − 0,2119 = 0,756

Respuesta

P = 0,756

6.Distribución normal

Respuesta: x = 58,26 puntos

z del percentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Vuelta a x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 puntos

Respuesta

x = 58,26 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 8,193 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 140,5 − 141,5 = −1

Error típico

SE = √(11²/60 + 18²/40) = 3,181

Margen de error

E = 2,576·3,181 = 8,193

Respuesta

E = 8,193 h

El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 1830

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (1,645·39/1,5)² = 1829

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 1830

Respuesta

n = 1830

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 1,5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Error típico de la diferencia media

SE = 11,9/√9 = 3,967

Estadístico de contraste

t = 5,95/3,967 = 1,5

Respuesta

t = 1,5

Con gl = 8, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,306; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: 1 − β = 85,86 %

Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media muestral crítica

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 500 + 2,326·2 = 504,7

z con la media verdadera

z = (504,7 − 506,8)/2 = −1,074

Potencia

potencia = P(Z > −1,074) = 85,86%

1 − β = 85,86%

Respuesta

1 − β = 85,86%

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9969

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 11024 − 100·536/5 = 304

S_xx = 2040 − 100²/5 = 40

S_yy = 59784 − 536²/5 = 2325

Coeficiente de correlación

r = 304/√(40·2325) = 0,9969

Respuesta

r = 0,9969

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 3,96

Medias

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 363/6 = 60,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223

Recta de regresión

b = 223/70 = 3,186

a = 60,5 − 3,186·6 = 41,39

ŷ = 41,39 + 3,186·x

Despeja x

x = (54 − 41,39)/3,186 = 3,96

Respuesta

x = 3,96

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