Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 48, 21, 55, 42, 53, 47, 59.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación típica 5. Calcula la puntuación z z de una nota de 67,5.
μ = 70σ = 5x = 67,5
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,1, 0,2, 0,25, 0,35
σ =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 10 €. Ganas 40 € con probabilidad 0,25 y 200 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €10€40: p = 0,25€200: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6970. Halla z con dos decimales.
A = 0,6970
z =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 90 % de los datos (el percentil 90).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 12 elementos tiene media 91,5 y desviación típica s = 4. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 12x̄ = 91,5s = 490%t(11) = 1,796
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 18. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 4?
σ = 18E = 490%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
20 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es 6,57 y la desviación típica de las diferencias es 8,4. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 6,57sd = 8,4
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 25 medidas tiene media 204,1. La desviación típica poblacional es 12. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 204,1σ = 12n = 2599%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 36Σy = 399Σx² = 286Σy² = 27481Σxy = 2645
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 47?
n = 6ŷ = 47
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 12,54
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 325/7 = 46,43
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 1,571² + (−25,43)² + 8,571² + (−4,429)² + 6,571² + 0,5714² + 12,57² = 943,7
Desviación típica
s = √(943,7/6) = 12,54
Respuesta
s = 12,54
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −0,5
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (67,5 − 70)/5 = −0,5
Respuesta
z = −0,5
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 1,314
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,1 + 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,65
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,1 + 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,75
Varianza
Var(X) = 8,75 − 2,65² = 1,728
σ = √1,728 = 1,314
Respuesta
σ = 1,314
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 2 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 30 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)
Valor esperado
E(G) = 30·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = 2 €
Respuesta
E(G) = 2 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 1,03
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,6970)/2 = 0,8485
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,8485 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,03
Respuesta
z = 1,03
6.Distribución normal
Respuesta: x = 39,69 min
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Vuelta a x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Respuesta
x = 39,69 min
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 93,57
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Margen de error
E = 1,796·4/√12 = 2,074
Intervalo
91,5 ± 2,074 → [89,43, 93,57]
Respuesta
límite superior = 93,57
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 55
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·18/4)² = 54,8
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 55
Respuesta
n = 55
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 3,498
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 8,4/√20 = 1,878
Estadístico de contraste
t = 6,57/1,878 = 3,498
Respuesta
t = 3,498
Con gl = 19, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,093; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 210,3
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·12/√25 = 6,182
Límite del intervalo
U = 204,1 + 6,182 = 210,3
Respuesta
U = 210,3
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9746
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 2645 − 36·399/6 = 251
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 27481 − 399²/6 = 947,5
Coeficiente de correlación
r = 251/√(70·947,5) = 0,9746
Respuesta
r = 0,9746
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 10,97
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 183/6 = 30,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291
Recta de regresión
b = 291/70 = 4,157
a = 30,5 − 4,157·7 = 1,4
ŷ = 1,4 + 4,157·x
Despeja x
x = (47 − 1,4)/4,157 = 10,97
Respuesta
x = 10,97
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