Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 58, 31, 20, 11, 11.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 60. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 470?
μ = 500σ = 60x = 470
P =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 6 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
3 / 6
P =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X − 3. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35Y = 10X − 3
σY =
5.Distribución normalMedia
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 500 y 510 h? Da P como número decimal.
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 510
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 90 % para una media, basado en 64 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 10,7. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 99 % con los mismos datos?
90%n₁ = 64E₁ = 10,799%
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 10 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 9,1 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 9, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 2,7 y el 2,5 % queda por encima de 19,023.
n = 10s = 9,1 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 102,1 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,1s = 10n = 100
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 81 medidas tiene media 101,2. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 101,2σ = 4n = 8199%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 19,59
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 131/5 = 26,2
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 31,8² + 4,8² + (−6,2)² + (−15,2)² + (−15,2)² = 1535
Desviación típica
s = √(1535/4) = 19,59
Respuesta
s = 19,59
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,3085
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −0,5
Tabla de la normal estándar
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Respuesta
P = 0,3085
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,08333
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333
Respuesta
P = 0,08333
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 109
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 27,5, Var(X) = 118,8, σX = 10,9
Cambio lineal
σY = |10|·10,9 = 109
Respuesta
σY = 109
La media sí se desplaza: E(Y) = 10·27,5 − 3 = 272.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,09871
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25
Área entre ambos valores
P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871
Respuesta
P = 0,09871
6.Distribución normal
Respuesta: x = 245,8 g
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Vuelta a x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Respuesta
x = 245,79 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 16,76
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566
Nuevo margen
E₂ = 10,7·1,566 = 16,76
Respuesta
E₂ = 16,76
8.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 6,259 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 9·9,1² = 745,3
Límites para σ²
745,3/19,023 = 39,18
745,3/2,7 = 276
Límite para σ
σ = √39,18 = 6,259 µm
Respuesta
σ = 6,259 µm
Intervalo del 95 % para σ: [6,259, 16,61] µm.
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,1
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Estadístico de contraste
t = (102,1 − 100)/1 = 2,1
Respuesta
t = 2,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 100,1
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·4/√81 = 1,145
Límite del intervalo
L = 101,2 − 1,145 = 100,1
Respuesta
L = 100,1
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9702
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 237/6 = 39,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 237,5
Coeficiente de determinación
r² = 63,5²/(17,5·237,5) = 0,9702
Respuesta
r² = 0,9702
Aproximadamente el 97,02 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 3,544
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 293/5 = 58,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Recta de regresión
b = 57/10 = 5,7
a = 58,6 − 5,7·4 = 35,8
ŷ = 35,8 + 5,7·x
Despeja x
x = (56 − 35,8)/5,7 = 3,544
Respuesta
x = 3,544
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