Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 44, 12, 35, 13, 33.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 182?
μ = 170σ = 8x = 182
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 11? El orden no importa.
n = 11k = 4
N =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 11 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 11p = 0,2
P =
5.Distribución normalMedia
Las masas de tornillos son independientes y normales con media 40 g y desviación típica 1,2 g. Halla la probabilidad P de que la masa total de 16 de ellos sea inferior a 642,4 g. Redondea z a dos decimales.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16< 642.4 g
P =
6.Distribución normalDifícil
Los diámetros D de los agujeros son normales con media 25,03 mm y desviación típica 0,02 mm. Los diámetros d de los ejes son independientes y normales con media 25 mm y desviación típica 0,015 mm. Un eje elegido al azar encaja cuando D − d > 0. Halla la probabilidad P de que encaje. Redondea z a dos decimales.
agujero: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmeje: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 7 elementos tiene media 95,5 y desviación típica s = 20. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 7x̄ = 95,5s = 2095%t(6) = 2,447
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,8 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,03?
p ≈ 0,8E = 0,0395%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
12 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −3,39 y la desviación típica de las diferencias es 4,7. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −3,39sd = 4,7
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 95 % para una media tenga un margen de error de como mucho 1? La desviación típica es 4. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 4E = 195%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3,5, 15). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 15)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 14,22
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 137/5 = 27,4
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 16,6² + (−15,4)² + 7,6² + (−14,4)² + 5,6² = 809,2
Desviación típica
s = √(809,2/4) = 14,22
Respuesta
s = 14,22
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,9332
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1,5
Tabla de la normal estándar
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Respuesta
P = 0,9332
3.Probabilidad
Respuesta: N = 330
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330
Respuesta
N = 330
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,3221
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,811 = 0,0859
P(X = 1) = 11·0,2·0,810 = 0,2362
Súmalas
P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221
Respuesta
P = 0,3221
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,6915
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución del total
μT = 640 g, σT = 1,2·√16 = 4,8 g
Tipificar
z = (642,4 − 640)/4,8 = 0,5
Probabilidad
P = Φ(0,5) = 0,6915
Respuesta
P = 0,6915
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8849
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Tipificar
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 18,5
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Margen de error
E = 2,447·20/√7 = 18,5
Respuesta
E = 18,5
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 683
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Despejar n
n = 1,96²·0,8·0,2/0,03² = 683
Redondear hacia arriba
n = 683
Respuesta
n = 683
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,499
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 4,7/√12 = 1,357
Estadístico de contraste
t = −3,39/1,357 = −2,499
Respuesta
t = −2,499
Con gl = 11, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,201; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 62
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (1,96·4/1)² = 61,47
Redondear hacia arriba
n = 62
Respuesta
n = 62
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9178
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 62,8
Coeficiente de correlación
r = −23/√(10·62,8) = −0,9178
Respuesta
r = −0,9178
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −5,333
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
Recta de regresión
b = −48/17,5 = −2,743
a = 20,33 − (−2,743)·3,5 = 29,93
ŷ = 29,93 − 2,743·x
Valor predicho
ŷ = 29,93 + (−2,743)·3,5 = 20,33
Residuo
e = 15 − 20,33 = −5,333
Respuesta
e = −5,333
El punto está por debajo de la recta.
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