Termodinámica I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de los gases ideales

Ley de los gases ideales: pV = nRT
Constante de los gases: R = 8,314 J/(mol·K)
Ley combinada de los gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Balance de energía

Calor sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calor latente: Q = ṁ·h_fg
Mezcla: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Agua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Máquinas térmicas y frigoríficas

Rendimiento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimiento de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorífico: COP_R = Q_C/W
COP de la bomba de calor: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Balance de energía: Q_H = W + Q_C

Ciclos de potencia de gas

Isentrópico, relación de volúmenes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrópico, relación de presiones: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimiento del ciclo Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimiento del ciclo Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimiento del ciclo Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calor aportado: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Trabajo neto del ciclo Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimientos isentrópicos: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aire frío: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Problemas de práctica

1.Ley de los gases idealesMedia

Un depósito de 30 L contiene 390 g de Ar a 55 °C. Trátalo como un gas ideal y halla la presión P.

m = 390 gM = 39,95 g/molV = 30 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ley de los gases idealesDifícil

Halla la densidad ρ de He a 300 kPa y 50 °C, tratándolo como un gas ideal.

M = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Balance de energíaMedia

etanol caliente enfría agua en un intercambiador a contracorriente sin pérdidas de calor. Halla la temperatura de salida del agua t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.Balance de energíaDifícil

aceite ligero caliente calienta agua en un intercambiador que pierde hacia el entorno el 5 % del calor cedido por la corriente caliente. Halla el caudal de agua ṁ_c necesario.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 80 °Ct: 10 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pérdida = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficasMedia

Una máquina térmica reversible (de Carnot) toma 3900 kJ de calor de un foco a 575 °C y cede 1348 kJ por ciclo. Halla la temperatura T_L del foco frío en °C.

T_H = 575 °CQ_H = 3900 kJQ_L = 1348 kJ

T_L = °C

6.Máquinas térmicas y frigoríficasDifícil

Una bomba de calor mantiene una casa a 22 °C mientras fuera hay 5 °C, y aporta 14 kW de calor a la casa. Halla la potencia mínima de accionamiento Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

7.Ciclos de potencia de gasMedia

Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 19 y una relación de corte r_c = v₃/v₂ = 1,8. Al comienzo de la compresión el aire está a 300 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el calor aportado q_in por kilogramo de aire, en kJ/kg.

r = 19r_c = 1,8T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Ciclos de potencia de gasDifícil

Un ciclo Brayton ideal funciona con una relación de presiones en el compresor de 18. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla su rendimiento térmico η en porcentaje.

r_p = 18k = 1,4

η = %

3Disoluciones

1.Ley de los gases ideales

Respuesta: P = 887,8 kPa

Ley de los gases ideales: PV = nRT, con n = m/M.

Moles

n = m/M = 390/39,95 = 9,762 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Presión

P = nRT/V = 9,762·8,314·328,1/0,03 = 887,8 kPa

Respuesta

P = 887,8 kPa

2.Ley de los gases ideales

Respuesta: ρ = 0,447 kg/m³

Densidad de un gas ideal: ρ = PM/(RT).

Reordena la ley de los gases

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Densidad

ρ = 300·4,003/(8,314·323,1) = 0,447 kg/m³

Respuesta

ρ = 0,447 kg/m³

3.Balance de energía

Respuesta: t_out = 123,4 °C

Balance de energía del intercambiador: sin pérdidas, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calor cedido por la corriente caliente

Q = 2·2,44·(130 − 90) = 195,2 kW

Calor que recibe el agua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 195,2/(0,5·4,18) = 123,4 °C

Respuesta

t_out = 123,4 °C

4.Balance de energía

Respuesta: ṁ_c = 0,8678 kg/s

Balance de energía con pérdidas: calor cedido = calor absorbido + calor perdido.

Calor cedido

Q_h = 2,5·2,1·(120 − 80) = 210 kW

Calor que llega al agua

Q_c = (1 − 0,05)·210 = 199,5 kW

Caudal de agua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 199,5/(4,18·55) = 0,8678 kg/s

Respuesta

ṁ_c = 0,8678 kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: T_L = 20,01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperatura absoluta del foco caliente

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

Relación de calores reversible

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 848,1·1348/3900 = 293,2 K = 20,01 °C

Respuesta

T_L = 20,01 °C

6.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: Ẇ_min = 0,8064 kW

Límites del segundo principio: ningún ciclo entre focos a temperaturas absolutas T_H y T_L puede superar al ciclo reversible (de Carnot): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) y COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). La energía siempre se conserva: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Mejor COP posible

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 278,1) = 17,36

Potencia mínima

El menor trabajo lo necesita una máquina reversible, que tiene el mayor COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/17,36 = 0,8064 kW

Respuesta

Ẇ_min = 0,8064 kW

7.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: q_in = 783,2 kJ/kg

Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturas

T₂ = 300·19^0,4 = 974,1 K

T₃ = 1,8·974,1 = 1753 K

Calor aportado a presión constante

q_in = 1,005·(1753 − 974,1) = 783,2 kJ/kg

Respuesta

q_in = 783,2 kJ/kg

8.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: η = 56,21 %

Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k y η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Trabajo neto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita w_s/η_c y la turbina da η_t·w_s.

Rendimiento térmico

η = 1 − 1/18^0,2857 = 1 − 1/2,284 = 56,21%

Respuesta

η = 56,21%

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