Termodinámica I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de los gases ideales

Ley de los gases ideales: pV = nRT
Constante de los gases: R = 8,314 J/(mol·K)
Ley combinada de los gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Balance de energía

Calor sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calor latente: Q = ṁ·h_fg
Mezcla: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Agua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Máquinas térmicas y frigoríficas

Rendimiento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimiento de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorífico: COP_R = Q_C/W
COP de la bomba de calor: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Balance de energía: Q_H = W + Q_C

Ciclos de potencia de gas

Isentrópico, relación de volúmenes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrópico, relación de presiones: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimiento del ciclo Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimiento del ciclo Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimiento del ciclo Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calor aportado: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Trabajo neto del ciclo Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimientos isentrópicos: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aire frío: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Problemas de práctica

1.Ley de los gases idealesMedia

Un depósito de 5 L contiene 310 g de He a 50 °C. Trátalo como un gas ideal y halla la presión P.

m = 310 gM = 4,003 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Ley de los gases idealesDifícil

Halla la densidad ρ de He a 850 kPa y 100 °C, tratándolo como un gas ideal.

M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Balance de energíaMedia

mezcla de glicol caliente enfría agua en un intercambiador a contracorriente sin pérdidas de calor. Halla la temperatura de salida del agua t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Balance de energíaDifícil

aceite ligero caliente calienta agua en un intercambiador que pierde hacia el entorno el 10 % del calor cedido por la corriente caliente. Halla el caudal de agua ṁ_c necesario.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Ct: 25 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pérdida = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficasMedia

Una máquina térmica recibe calor de un foco a 550 °C y cede calor al ambiente a 40 °C. Su rendimiento térmico real es del 46 %. Halla su rendimiento exergético (de segundo principio) η_II, el cociente entre el rendimiento real y el de Carnot.

T_H = 550 °CT_L = 40 °Cη = 46%

η_II = %

6.Máquinas térmicas y frigoríficasDifícil

Una bomba de calor aporta 13,5 kW de calor a un sistema de calefacción a 20 °C, tomando calor de un foco a 2 °C. Su COP real es el 30 % del COP de Carnot entre estas temperaturas. Halla la potencia eléctrica Ẇ que consume.

T_H = 20 °CT_L = 2 °Cη_II = 30%Q̇_H = 13,5 kW

Ẇ = kW

7.Ciclos de potencia de gasMedia

Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 20 y una relación de corte r_c = v₃/v₂ = 2. Al comienzo de la compresión el aire está a 305 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el calor aportado q_in por kilogramo de aire, en kJ/kg.

r = 20r_c = 2T₁ = 305 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Ciclos de potencia de gasDifícil

Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 15. El aire entra en el compresor a 310 K y en la turbina a 1500 K. El compresor tiene un rendimiento isentrópico del 88 % y la turbina del 92 %. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto w_net por kilogramo de aire, en kJ/kg.

r_p = 15T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kη_c = 88%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Disoluciones

1.Ley de los gases ideales

Respuesta: P = 41612 kPa

Ley de los gases ideales: PV = nRT, con n = m/M.

Moles

n = m/M = 310/4,003 = 77,44 mol

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Presión

P = nRT/V = 77,44·8,314·323,1/0,005 = 41612 kPa

Respuesta

P = 41612 kPa

2.Ley de los gases ideales

Respuesta: ρ = 1,097 kg/m³

Densidad de un gas ideal: ρ = PM/(RT).

Reordena la ley de los gases

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Densidad

ρ = 850·4,003/(8,314·373,1) = 1,097 kg/m³

Respuesta

ρ = 1,097 kg/m³

3.Balance de energía

Respuesta: t_out = 61,67 °C

Balance de energía del intercambiador: sin pérdidas, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calor cedido por la corriente caliente

Q = 1,5·3,6·(180 − 100) = 432 kW

Calor que recibe el agua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 432/(2·4,18) = 61,67 °C

Respuesta

t_out = 61,67 °C

4.Balance de energía

Respuesta: ṁ_c = 1,005 kg/s

Balance de energía con pérdidas: calor cedido = calor absorbido + calor perdido.

Calor cedido

Q_h = 2·2,1·(150 − 100) = 210 kW

Calor que llega al agua

Q_c = (1 − 0,1)·210 = 189 kW

Caudal de agua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 189/(4,18·45) = 1,005 kg/s

Respuesta

ṁ_c = 1,005 kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: η_II = 74,24 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Rendimiento de Carnot

η_Carnot = 1 − 313,1/823,1 = 61,96 %

Rendimiento de segundo principio

η_II = η/η_Carnot = 46/61,96 = 74,24 %

Respuesta

η_II = 74,24 %

6.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: Ẇ = 2,763 kW

Temperaturas absolutas

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

COP de Carnot y COP real

COP_max = 293,1/(293,1 − 275,1) = 16,29

COP = 0,3·16,29 = 4,886

Potencia consumida

Ẇ = Q̇_H/COP = 13,5/4,886 = 2,763 kW

Respuesta

Ẇ = 2,763 kW

7.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: q_in = 1016 kJ/kg

Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Temperaturas

T₂ = 305·20^0,4 = 1011 K

T₃ = 2·1011 = 2022 K

Calor aportado a presión constante

q_in = 1,005·(2022 − 1011) = 1016 kJ/kg

Respuesta

q_in = 1016 kJ/kg

8.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: w_net = 333,7 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k y η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Trabajo neto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita w_s/η_c y la turbina da η_t·w_s.

Temperaturas isentrópicas

T_2s = 310·15^0,2857 = 672 K

T_4s = 1500/15^0,2857 = 691,9 K

Trabajo del compresor y de la turbina

w_c = 1,005·(672 − 310)/0,88 = 413,5 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1500 − 691,9) = 747,1 kJ/kg

Trabajo neto

w_net = 747,1 − 413,5 = 333,7 kJ/kg

Respuesta

w_net = 333,7 kJ/kg

Relación de trabajo de retroceso: w_c/w_t = 55,34%.

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