Termodinámica I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de los gases ideales

Ley de los gases ideales: pV = nRT
Constante de los gases: R = 8,314 J/(mol·K)
Ley combinada de los gases: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Temperatura: T[K] = T[°C] + 273,15

Balance de energía

Calor sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Calor latente: Q = ṁ·h_fg
Mezcla: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Agua: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Máquinas térmicas y frigoríficas

Rendimiento: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendimiento de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP del frigorífico: COP_R = Q_C/W
COP de la bomba de calor: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Balance de energía: Q_H = W + Q_C

Ciclos de potencia de gas

Isentrópico, relación de volúmenes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentrópico, relación de presiones: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendimiento del ciclo Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendimiento del ciclo Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendimiento del ciclo Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Calor aportado: Otto: c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton: c_p(T₃ − T₂)
Trabajo neto del ciclo Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendimientos isentrópicos: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Aire frío: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Problemas de práctica

1.Ley de los gases idealesMedia

¿Qué volumen V ocupan 90 g de Ar a 500 kPa y 30 °C? Trátalo como un gas ideal.

m = 90 gM = 39,95 g/molP = 500 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Ley de los gases idealesDifícil

Halla la densidad ρ de Ar a 600 kPa y 180 °C, tratándolo como un gas ideal.

M = 39,95 g/molP = 600 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Balance de energíaMedia

etanol caliente enfría agua en un intercambiador a contracorriente sin pérdidas de calor. Halla la temperatura de salida del agua t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 80 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Balance de energíaDifícil

etanol caliente calienta agua en un intercambiador que pierde hacia el entorno el 15 % del calor cedido por la corriente caliente. Halla el caudal de agua ṁ_c necesario.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Ct: 10 → 65 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pérdida = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficasMedia

Un frigorífico reversible mantiene una cámara fría a -30 °C extrayendo 1,5 kW de calor, y cede calor al ambiente a 20 °C. Halla el calor Q̇_H que cede por unidad de tiempo.

T_L = -30 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 1,5 kW

Q̇_H = kW

6.Máquinas térmicas y frigoríficasDifícil

Una bomba de calor aporta 13,5 kW de calor a un sistema de calefacción a 55 °C, tomando calor de un foco a 7 °C. Su COP real es el 40 % del COP de Carnot entre estas temperaturas. Halla la potencia eléctrica Ẇ que consume.

T_H = 55 °CT_L = 7 °Cη_II = 40%Q̇_H = 13,5 kW

Ẇ = kW

7.Ciclos de potencia de gasMedia

Un ciclo Diesel ideal tiene una relación de compresión r = 15 y una relación de corte r_c = v₃/v₂ = 3. Al comienzo de la compresión el aire está a 310 K. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla la temperatura T₃ al final del aporte de calor, en K.

r = 15r_c = 3T₁ = 310 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Ciclos de potencia de gasDifícil

Una central de turbina de gas funciona según un ciclo Brayton con una relación de presiones en el compresor de 6. El aire entra en el compresor a 300 K y en la turbina a 1100 K. El compresor tiene un rendimiento isentrópico del 88 % y la turbina del 85 %. Usa las hipótesis de aire estándar frío: el aire es un gas ideal con calores específicos constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) y c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Halla el trabajo neto w_net por kilogramo de aire, en kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 300 KT₃ = 1100 Kη_c = 88%η_t = 85%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Disoluciones

1.Ley de los gases ideales

Respuesta: V = 11,36 L

Ley de los gases ideales: PV = nRT, con n = m/M.

Moles

n = 90/39,95 = 2,253 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Volumen

V = nRT/P = 2,253·8,314·303,1/500 = 11,36 L

Respuesta

V = 11,36 L

2.Ley de los gases ideales

Respuesta: ρ = 6,362 kg/m³

Densidad de un gas ideal: ρ = PM/(RT).

Reordena la ley de los gases

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Densidad

ρ = 600·39,95/(8,314·453,1) = 6,362 kg/m³

Respuesta

ρ = 6,362 kg/m³

3.Balance de energía

Respuesta: t_out = 19,86 °C

Balance de energía del intercambiador: sin pérdidas, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Calor cedido por la corriente caliente

Q = 0,5·2,44·(130 − 80) = 61 kW

Calor que recibe el agua

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 61/(3·4,18) = 19,86 °C

Respuesta

t_out = 19,86 °C

4.Balance de energía

Respuesta: ṁ_c = 0,3609 kg/s

Balance de energía con pérdidas: calor cedido = calor absorbido + calor perdido.

Calor cedido

Q_h = 0,5·2,44·(140 − 60) = 97,6 kW

Calor que llega al agua

Q_c = (1 − 0,15)·97,6 = 82,96 kW

Caudal de agua

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 82,96/(4,18·55) = 0,3609 kg/s

Respuesta

ṁ_c = 0,3609 kg/s

5.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: Q̇_H = 1,808 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Temperaturas absolutas

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Relación de calores reversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1,5·293,1/243,1 = 1,808 kW

Respuesta

Q̇_H = 1,808 kW

Potencia consumida: Ẇ = 0,3085 kW.

6.Máquinas térmicas y frigoríficas

Respuesta: Ẇ = 4,937 kW

Temperaturas absolutas

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

COP de Carnot y COP real

COP_max = 328,1/(328,1 − 280,1) = 6,836

COP = 0,4·6,836 = 2,735

Potencia consumida

Ẇ = Q̇_H/COP = 13,5/2,735 = 4,937 kW

Respuesta

Ẇ = 4,937 kW

7.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: T₃ = 2747 K

Ciclo Diesel (motor de encendido por compresión): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica, 4→1 cesión de calor a volumen constante. Con relación de compresión r = v₁/v₂ y relación de corte r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) y η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Final de la compresión

T₂ = 310·15^0,4 = 915,8 K

Aporte de calor a presión constante

T₃ = r_c·T₂ = 3·915,8 = 2747 K

Respuesta

T₃ = 2747 K

8.Ciclos de potencia de gas

Respuesta: w_net = 147,5 kJ/kg

Ciclo Brayton (turbina de gas): 1→2 compresión isentrópica, 2→3 aporte de calor a presión constante, 3→4 expansión isentrópica en la turbina, 4→1 cesión de calor a presión constante. Con relación de presiones r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k y η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Trabajo neto w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Con rendimientos isentrópicos, el compresor necesita w_s/η_c y la turbina da η_t·w_s.

Temperaturas isentrópicas

T_2s = 300·6^0,2857 = 500,6 K

T_4s = 1100/6^0,2857 = 659,3 K

Trabajo del compresor y de la turbina

w_c = 1,005·(500,6 − 300)/0,88 = 229 kJ/kg

w_t = 0,85·1,005·(1100 − 659,3) = 376,5 kJ/kg

Trabajo neto

w_net = 376,5 − 229 = 147,5 kJ/kg

Respuesta

w_net = 147,5 kJ/kg

Relación de trabajo de retroceso: w_c/w_t = 60,84%.

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