Ondas y óptica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Muelles y péndulos

Masa en un muelle
T = 2π·√(m/k)
Péndulo
T = 2π·√(L/g)
Frecuencia angular
ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidad y aceleración máximas
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energía
E = ½·k·A²

Ondas, sonido y óptica

Velocidad de la onda
v = fλ, T = 1/f
Cuerda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nivel sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fuente puntual
I = P/(4πr²)
Ondas estacionarias
cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
Efecto Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refracción
n = c/v, λ = λ0/n
Ley de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ángulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes y espejos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doble rendija
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Red de difracción
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Rendija simple
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

  1. Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
  2. Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
  4. Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.

2Problemas de práctica

1.Muelles y péndulosMedia
L = ?

¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 1,3 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Muelles y péndulosDifícil
2,6 kgk = 160 N/mA = 4 cm

Una masa de 2,6 kg unida a un muelle con k = 160 N/m se separa 4 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su aceleración máxima amax.

m = 2,6 kgk = 160 N/mA = 4 cm
amax = m/s²
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
70 dB?1 m5 m

Una fuente pequeña emite sonido por igual en todas las direcciones. El nivel es de 70 dB a 1 m de ella. Halla el nivel β2 a 5 m, ignorando la absorción y las reflexiones.

β1 = 70 dBr1 = 1 mr2 = 5 m
β2 = dB
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
f1​ = 15 cmf2​ = 12 cm25 cm10 cm

Dos lentes delgadas comparten eje y están separadas 10 cm: la lente 1 con f₁ = 15 cm y la lente 2 con f₂ = 12 cm. Un objeto está a 25 cm delante de la lente 1. Halla la posición di2 de la imagen final medida desde la lente 2 (positiva más allá de la lente 2, convenio de real positivo).

f1 = 15 cmf2 = 12 cms = 10 cmdo = 25 cm
di2 = cm

3Disoluciones

1.Muelles y péndulos

Respuesta: L = 0,4199 m

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Despeja la longitud

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Respuesta

L = 0,4199 m
2.Muelles y péndulos

Respuesta: amax = 2,462 m/s²

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Frecuencia angular

ω = √(160/2,6) = 7,845 rad/s

Aceleración máxima

amax = A·ω² = 0,04·7,845² = 2,462 m/s²

Respuesta

amax = 2,462 m/s²
3.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: β2 = 56,02 dB

Ondas: una onda periódica avanza una longitud de onda en un periodo, así que v = fλ con T = 1/f. En una cuerda tensa v = √(T/μ), con T la tensión y μ = m/L la masa por metro. El sonido en el aire viaja a unos 343 m/s a 20 °C, y la luz en el vacío a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonoridad se mide en una escala logarítmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², así que una intensidad diez veces mayor suma 10 dB. Una fuente puntual reparte su potencia P sobre una esfera: I = P/(4πr²).

Razón de intensidades

I₂/I₁ = (1/5)² = 0,04

Nuevo nivel

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,04) = 56,02 dB

Respuesta

β2 = 56,02 dB

Cada vez que se duplica la distancia, el nivel baja unos 6 dB.

4.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: di2 = 8,354 cm

Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/do + 1/di con el aumento m = −di/do. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; di > 0 para una imagen real, di < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.

Imagen de la lente 1

1/di1 = 1/15 − 1/25 → di1 = 37,5 cm

Objeto de la lente 2

do2 = 10 − 37,5 = −27,5 cm

Imagen final

1/di2 = 1/12 − 1/(−27,5) → di2 = 8,354 cm

Respuesta

di2 = 8,354 cm

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