Muelles y péndulos
- Masa en un muelle
- T = 2π·√(m/k)
- Péndulo
- T = 2π·√(L/g)
- Frecuencia angular
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocidad y aceleración máximas
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energía
- E = ½·k·A²
Ondas y óptica: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Ondas, sonido y óptica
- Velocidad de la onda
- v = fλ, T = 1/f
- Cuerda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Nivel sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Fuente puntual
- I = P/(4πr²)
- Ondas estacionarias
- cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
- Efecto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Índice de refracción
- n = c/v, λ = λ0/n
- Ley de Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Ángulo crítico
- sin θc = n2/n1
- Fibra óptica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentes y espejos
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doble rendija
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Red de difracción
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Rendija simple
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Método
- Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
- Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
- Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.
2Problemas de práctica
1.Muelles y péndulosMedia
Una masa de 1,1 kg unida a un muelle con k = 50 N/m se desplaza 8 cm en sentido positivo y se suelta desde el reposo en t = 0. Halla su desplazamiento x respecto al equilibrio en t = 0,25 s (con signo).
m = 1,1 kgk = 50 N/mA = 8 cmt = 0,25 s
x = cm
2.Muelles y péndulosDifícil
Una masa unida a un muelle con k = 440 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 9 cm. Halla la energía U almacenada en el muelle cuando la masa está a 8 cm del equilibrio.
k = 440 N/mA = 9 cmx = 8 cm
U = J
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
Un objeto de 1 cm de altura está a 40 cm delante de una lente delgada convergente con una distancia focal de 8 cm. Halla la altura de la imagen hi (negativa para una imagen invertida).
ho = 1 cmdo = 40 cmf = 8 cm
hi = cm
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
Un sensor en reposo envía ultrasonido de 40 kHz hacia un coche que se acerca a 5 m/s y mezcla el eco con la señal emitida. Halla la frecuencia de batido fb (velocidad del sonido 343 m/s).
f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Disoluciones
1.Muelles y péndulos
Respuesta: x = −0,9156 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Frecuencia angular
ω = √(50/1,1) = 6,742 rad/s
ω·t = 6,742·0,25 = 1,685 rad
Desplazamiento
x = A·cos(ω·t) = 8·cos(1,685) = −0,9156 cm
Respuesta
x = −0,9156 cm
2.Muelles y péndulos
Respuesta: U = 1,408 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Energía total
E = ½·k·A² = ½·440·0,09² = 1,782 J
Energía del muelle en x
U = ½·k·x² = ½·440·0,08² = 1,408 J
Respuesta
U = 1,408 J
3.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: hi = −0,25 cm
Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/do + 1/di con el aumento m = −di/do. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; di > 0 para una imagen real, di < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.
Ecuación de la lente delgada
1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/40
di = 10 cm
Aumento y altura
m = −10/40 = −0,25
hi = −0,25·1 = −0,25 cm
Respuesta
hi = −0,25 cm
4.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: fb = 1183 Hz
Ondas estacionarias y efecto Doppler: una cuerda fija por ambos extremos, o un tubo abierto por ambos extremos, admite un número entero de semilongitudes de onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto: L = nλ/4 solo con n impar, fn = n·v/(4L). Cuando la fuente o el observador se mueven a lo largo de la línea que los une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. Dos ondas de frecuencias casi iguales producen pulsaciones a |f₁ − f₂|.
Frecuencia en el coche
f′ = 40000·(343 + 5)/343 = 40583 Hz
Frecuencia del eco
f″ = f′·343/(343 − 5) = 41183 Hz
Frecuencia de batido
fb = |f″ − f| = 1183 Hz
Respuesta
fb = 1183 Hz
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