Ondas y óptica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Muelles y péndulos

Masa en un muelle
T = 2π·√(m/k)
Péndulo
T = 2π·√(L/g)
Frecuencia angular
ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidad y aceleración máximas
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energía
E = ½·k·A²

Ondas, sonido y óptica

Velocidad de la onda
v = fλ, T = 1/f
Cuerda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nivel sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fuente puntual
I = P/(4πr²)
Ondas estacionarias
cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
Efecto Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refracción
n = c/v, λ = λ0/n
Ley de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ángulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes y espejos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doble rendija
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Red de difracción
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Rendija simple
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

  1. Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
  2. Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
  4. Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.

2Problemas de práctica

1.Muelles y péndulosMedia
L = ?

¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 2,1 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.

T = 2,1 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Muelles y péndulosDifícil
2 kgk = 250 N/mA = 11 cm

Una masa de 2 kg unida a un muelle con k = 250 N/m se separa 11 cm de la posición de equilibrio y se suelta. Halla su velocidad máxima vmax.

m = 2 kgk = 250 N/mA = 11 cm
vmax = m/s
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
S10 m/sO15 m/sf = 800 Hz

Una fuente de 800 Hz que se mueve a 10 m/s y un observador que se mueve a 15 m/s se acercan entre sí. La velocidad del sonido es 343 m/s. Halla la frecuencia f′ que oye el observador.

f = 800 Hzv = 343 m/svs = 10 m/svo = 15 m/s
f′ = Hz
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
θn1​ = 1,62n2​ = 1,6n0​ = 1,00

Una fibra óptica tiene un núcleo con n₁ = 1,62 y un revestimiento con n₂ = 1,6. Halla su apertura numérica NA.

n1 = 1,62n2 = 1,6
NA =

3Disoluciones

1.Muelles y péndulos

Respuesta: L = 1,096 m

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Despeja la longitud

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,1/2π)² = 1,096 m

Respuesta

L = 1,096 m
2.Muelles y péndulos

Respuesta: vmax = 1,23 m/s

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Frecuencia angular

ω = √(250/2) = 11,18 rad/s

Velocidad máxima

vmax = A·ω = 0,11·11,18 = 1,23 m/s

Respuesta

vmax = 1,23 m/s
3.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: f′ = 860,1 Hz

Ondas estacionarias y efecto Doppler: una cuerda fija por ambos extremos, o un tubo abierto por ambos extremos, admite un número entero de semilongitudes de onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto: L = nλ/4 solo con n impar, fn = n·v/(4L). Cuando la fuente o el observador se mueven a lo largo de la línea que los une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. Dos ondas de frecuencias casi iguales producen pulsaciones a |f₁ − f₂|.

Fórmula del efecto Doppler

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 800·(343 + 15)/(343 − 10)
f′ = 860,1 Hz

Respuesta

f′ = 860,1 Hz
4.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: NA = 0,2538

Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/do + 1/di con el aumento m = −di/do. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; di > 0 para una imagen real, di < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.

Ángulo crítico en el revestimiento

sin θc = 1,6/1,62 = 0,9877 → θc = 80,99°

Apertura numérica

NA = √(1,62² − 1,6²) = 0,2538

Respuesta

NA = 0,2538

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