Muelles y péndulos
- Masa en un muelle
- T = 2π·√(m/k)
- Péndulo
- T = 2π·√(L/g)
- Frecuencia angular
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocidad y aceleración máximas
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energía
- E = ½·k·A²
Ondas y óptica: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Ondas, sonido y óptica
- Velocidad de la onda
- v = fλ, T = 1/f
- Cuerda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Nivel sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Fuente puntual
- I = P/(4πr²)
- Ondas estacionarias
- cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
- Efecto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Índice de refracción
- n = c/v, λ = λ0/n
- Ley de Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Ángulo crítico
- sin θc = n2/n1
- Fibra óptica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentes y espejos
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doble rendija
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Red de difracción
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Rendija simple
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Método
- Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
- Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
- Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.
2Problemas de práctica
1.Muelles y péndulosMedia
Una masa de 0,7 kg unida a un muelle con k = 290 N/m se desplaza 4 cm en sentido positivo y se suelta desde el reposo en t = 0. Halla su desplazamiento x respecto al equilibrio en t = 0,8 s (con signo).
m = 0,7 kgk = 290 N/mA = 4 cmt = 0,8 s
x = cm
2.Muelles y péndulosDifícil
Una bala de 10 g que se mueve a 350 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 4 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 100 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.
m = 10 gv = 350 m/sM = 4 kgk = 100 N/m
A = cm
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
Una fuente pequeña emite sonido por igual en todas las direcciones. El nivel es de 90 dB a 1 m de ella. Halla el nivel β2 a 2 m, ignorando la absorción y las reflexiones.
β1 = 90 dBr1 = 1 mr2 = 2 m
β2 = dB
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
Un sensor en reposo envía ultrasonido de 25 kHz hacia un coche que se aleja a 10 m/s y mezcla el eco con la señal emitida. Halla la frecuencia de batido fb (velocidad del sonido 343 m/s).
f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Disoluciones
1.Muelles y péndulos
Respuesta: x = −3,356 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Frecuencia angular
ω = √(290/0,7) = 20,35 rad/s
ω·t = 20,35·0,8 = 16,28 rad
Desplazamiento
x = A·cos(ω·t) = 4·cos(16,28) = −3,356 cm
Respuesta
x = −3,356 cm
2.Muelles y péndulos
Respuesta: A = 17,48 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocidad tras el impacto
V = m·v/(m + M) = 0,01·350/4,01 = 0,8728 m/s
Frecuencia angular
ω = √(k/(m + M)) = √(100/4,01) = 4,994 rad/s
Amplitud
A = V/ω = 0,8728/4,994 = 0,1748 m = 17,48 cm
Respuesta
A = 17,48 cm
3.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: β2 = 83,98 dB
Ondas: una onda periódica avanza una longitud de onda en un periodo, así que v = fλ con T = 1/f. En una cuerda tensa v = √(T/μ), con T la tensión y μ = m/L la masa por metro. El sonido en el aire viaja a unos 343 m/s a 20 °C, y la luz en el vacío a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonoridad se mide en una escala logarítmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², así que una intensidad diez veces mayor suma 10 dB. Una fuente puntual reparte su potencia P sobre una esfera: I = P/(4πr²).
Razón de intensidades
I₂/I₁ = (1/2)² = 0,25
Nuevo nivel
β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,25) = 83,98 dB
Respuesta
β2 = 83,98 dB
Cada vez que se duplica la distancia, el nivel baja unos 6 dB.
4.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: fb = 1416 Hz
Ondas estacionarias y efecto Doppler: una cuerda fija por ambos extremos, o un tubo abierto por ambos extremos, admite un número entero de semilongitudes de onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto: L = nλ/4 solo con n impar, fn = n·v/(4L). Cuando la fuente o el observador se mueven a lo largo de la línea que los une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. Dos ondas de frecuencias casi iguales producen pulsaciones a |f₁ − f₂|.
Frecuencia en el coche
f′ = 25000·(343 − 10)/343 = 24271 Hz
Frecuencia del eco
f″ = f′·343/(343 + 10) = 23584 Hz
Frecuencia de batido
fb = |f″ − f| = 1416 Hz
Respuesta
fb = 1416 Hz
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