Muelles y péndulos
- Masa en un muelle
- T = 2π·√(m/k)
- Péndulo
- T = 2π·√(L/g)
- Frecuencia angular
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocidad y aceleración máximas
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energía
- E = ½·k·A²
Ondas y óptica: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Ondas, sonido y óptica
- Velocidad de la onda
- v = fλ, T = 1/f
- Cuerda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Nivel sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Fuente puntual
- I = P/(4πr²)
- Ondas estacionarias
- cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
- Efecto Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Índice de refracción
- n = c/v, λ = λ0/n
- Ley de Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Ángulo crítico
- sin θc = n2/n1
- Fibra óptica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentes y espejos
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doble rendija
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Red de difracción
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Rendija simple
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Método
- Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
- Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
- Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.
2Problemas de práctica
1.Muelles y péndulosMedia
Una masa de 2,7 kg unida a un muelle con k = 200 N/m se desplaza 9 cm en sentido positivo y se suelta desde el reposo en t = 0. Halla su desplazamiento x respecto al equilibrio en t = 0,15 s (con signo).
m = 2,7 kgk = 200 N/mA = 9 cmt = 0,15 s
x = cm
2.Muelles y péndulosDifícil
Una masa unida a un muelle con k = 360 N/m oscila sobre una superficie sin rozamiento con una amplitud de 9 cm. Halla su energía cinética K cuando está a 2 cm del equilibrio.
k = 360 N/mA = 9 cmx = 2 cm
K = J
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
Un altavoz pequeño radia 0,02 W de potencia sonora por igual en todas las direcciones. Halla el nivel de intensidad sonora β a 10 m.
P = 0,02 Wr = 10 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
Luz de longitud de onda 500 nm incide en ángulo recto sobre una red con 600 líneas por milímetro. Halla el ángulo θ2 del máximo de orden 2.
N = 600 mm⁻¹λ = 500 nmm = 2
θ2 = °
3Disoluciones
1.Muelles y péndulos
Respuesta: x = 2,485 cm
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Frecuencia angular
ω = √(200/2,7) = 8,607 rad/s
ω·t = 8,607·0,15 = 1,291 rad
Desplazamiento
x = A·cos(ω·t) = 9·cos(1,291) = 2,485 cm
Respuesta
x = 2,485 cm
2.Muelles y péndulos
Respuesta: K = 1,386 J
Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².
Energía total
E = ½·k·A² = ½·360·0,09² = 1,458 J
Energía del muelle en x
U = ½·k·x² = ½·360·0,02² = 0,072 J
Energía cinética
K = 1,458 − 0,072 = 1,386 J
Respuesta
K = 1,386 J
3.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: β = 72,02 dB
Ondas: una onda periódica avanza una longitud de onda en un periodo, así que v = fλ con T = 1/f. En una cuerda tensa v = √(T/μ), con T la tensión y μ = m/L la masa por metro. El sonido en el aire viaja a unos 343 m/s a 20 °C, y la luz en el vacío a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonoridad se mide en una escala logarítmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², así que una intensidad diez veces mayor suma 10 dB. Una fuente puntual reparte su potencia P sobre una esfera: I = P/(4πr²).
Intensidad
I = P/(4πr²) = 1,592 × 10⁻⁵ W/m²
Nivel
β = 10·log₁₀(1,592 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 72,02 dB
Respuesta
β = 72,02 dB
4.Ondas, sonido y óptica
Respuesta: θ2 = 36,87 °
Interferencia y difracción: la luz de dos rendijas separadas una distancia d llega a un punto de la pantalla con una diferencia de camino d·sin θ. Las franjas brillantes aparecen donde d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Para una pantalla a una distancia L ≫ d, la m-ésima franja brillante está en y = mλL/d y la separación entre franjas es Δy = λL/d. Una red con N líneas por milímetro tiene d = 1/N y máximos nítidos en d·sin θ = mλ; como sin θ ≤ 1, el orden más alto es el mayor entero m ≤ d/λ. Una sola rendija de anchura a tiene franjas oscuras en a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Separación entre líneas
d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m
Ecuación de la red
sin θ = mλ/d = 2·500 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,6
θ = 36,87°
Respuesta
θ2 = 36,87°
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