Ondas y óptica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 4 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Muelles y péndulos

Masa en un muelle
T = 2π·√(m/k)
Péndulo
T = 2π·√(L/g)
Frecuencia angular
ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidad y aceleración máximas
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energía
E = ½·k·A²

Ondas, sonido y óptica

Velocidad de la onda
v = fλ, T = 1/f
Cuerda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nivel sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fuente puntual
I = P/(4πr²)
Ondas estacionarias
cuerda o tubo abierto fn = n·v/(2L); tubo cerrado fn = n·v/(4L), n impar
Efecto Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refracción
n = c/v, λ = λ0/n
Ley de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ángulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes y espejos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Doble rendija
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Red de difracción
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Rendija simple
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

  1. Identifica el tipo de problema: velocidad de las ondas, nivel sonoro, onda estacionaria, Doppler, refracción, lente o espejo, o interferencia.
  2. Escribe primero la relación: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) o n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Convierte las unidades: nm, mm y cm a m, y comprueba si los ángulos se miden desde la normal.
  4. Comprueba los signos y la plausibilidad: una imagen virtual tiene dᵢ < 0, una fuente que se acerca suena más aguda, un tubo cerrado solo tiene armónicos impares.

2Problemas de práctica

1.Muelles y péndulosMedia
L = ?

¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su periodo sea de 1,3 s? Usa g = 9,81 m/s². Halla L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Muelles y péndulosDifícil
2,5 kgk = 700 N/m150 m/s

Una bala de 20 g que se mueve a 150 m/s impacta y se queda incrustada en un bloque de 2,5 kg que descansa sobre una superficie sin rozamiento. El bloque está unido a un muelle horizontal con k = 700 N/m. Halla la amplitud A de la oscilación resultante en cm.

m = 20 gv = 150 m/sM = 2,5 kgk = 700 N/m
A = cm
3.Ondas, sonido y ópticaMedia
L = ?n = 1

Un tubo cerrado por un extremo debe tener su fundamental (primer armónico) en 107 Hz. La velocidad del sonido es 343 m/s. Halla la longitud L del tubo.

v = 343 m/sn = 1f1 = 107 Hz
L = m
4.Ondas, sonido y ópticaDifícil
θn1​ = 1,62n2​ = 1,57n0​ = 1,00

Una fibra óptica tiene un núcleo con n₁ = 1,62 y un revestimiento con n₂ = 1,57. Halla su apertura numérica NA.

n1 = 1,62n2 = 1,57
NA =

3Disoluciones

1.Muelles y péndulos

Respuesta: L = 0,4199 m

Movimiento armónico simple: una masa m en un muelle de constante elástica k oscila con frecuencia angular ω = √(k/m) y periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un péndulo simple de longitud L tiene T = 2π·√(L/g). Con amplitud A, la velocidad máxima es A·ω, la aceleración máxima A·ω² y la energía ½·k·A².

Despeja la longitud

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Respuesta

L = 0,4199 m
2.Muelles y péndulos

Respuesta: A = 7,143 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Velocidad tras el impacto

V = m·v/(m + M) = 0,02·150/2,52 = 1,19 m/s

Frecuencia angular

ω = √(k/(m + M)) = √(700/2,52) = 16,67 rad/s

Amplitud

A = V/ω = 1,19/16,67 = 0,07143 m = 7,143 cm

Respuesta

A = 7,143 cm
3.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: L = 0,8014 m

Ondas estacionarias y efecto Doppler: una cuerda fija por ambos extremos, o un tubo abierto por ambos extremos, admite un número entero de semilongitudes de onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto: L = nλ/4 solo con n impar, fn = n·v/(4L). Cuando la fuente o el observador se mueven a lo largo de la línea que los une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa los signos superiores para el movimiento de acercamiento. Dos ondas de frecuencias casi iguales producen pulsaciones a |f₁ − f₂|.

Longitud de onda

λ = v/f = 343/107 = 3,206 m

Longitud

L = nλ/4 = 1·3,206/4 = 0,8014 m

Respuesta

L = 0,8014 m
4.Ondas, sonido y óptica

Respuesta: NA = 0,3994

Óptica geométrica: en una frontera, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (ley de Snell), con los ángulos medidos desde la normal y n = c/v. Al pasar a un medio más lento el rayo se acerca a la normal. Desde un medio más denso (n₁ > n₂), más allá del ángulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda la luz se refleja: reflexión interna total. Las lentes delgadas y los espejos esféricos obedecen a 1/f = 1/do + 1/di con el aumento m = −di/do. Convenio de signos: f > 0 para una lente convergente y un espejo cóncavo (f = R/2), f < 0 para una lente divergente y un espejo convexo; di > 0 para una imagen real, di < 0 para una virtual, y m < 0 para una imagen invertida.

Ángulo crítico en el revestimiento

sin θc = 1,57/1,62 = 0,9691 → θc = 75,73°

Apertura numérica

NA = √(1,62² − 1,57²) = 0,3994

Respuesta

NA = 0,3994

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