Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du tri rapide (quicksort) dans le pire cas ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel est le temps d'exécution de l'algorithme de Dijkstra avec un tas binaire sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de temps faut-il pour vérifier si l'arête (u, v) existe avec une matrice d'adjacence ?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(log V)
  4. DO(V)
4.Structures de donnéesDifficile

Un filtre de Bloom peut répondre à la question « cet élément appartient-il à l'ensemble ? » avec :

  1. ADes faux négatifs possibles mais aucun faux positif
  2. BDes faux positifs possibles mais aucun faux négatif
  3. CDes réponses toujours exactes
  4. DDes réponses uniquement pour des nombres
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches de longueur 2 vont de B à C ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Avec des pivots systématiquement mauvais (par ex. une entrée déjà triée et le premier élément comme pivot), les partitions sont déséquilibrées, ce qui donne O(n²). Le cas moyen est O(n log n).

Réponse

C · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O((V + E) log V)

Pourquoi c'est la réponse

Il y a V extractions du minimum et jusqu'à E diminutions de clé, chacune en O(log V) ; un tas de Fibonacci améliore cela en O(E + V log V).

Réponse

A · O((V + E) log V)
3.Structures de données

Réponse: B · O(1)

Pourquoi c'est la réponse

La case à la ligne u, colonne v indique immédiatement si l'arête existe ; une liste d'adjacence peut nécessiter de parcourir les voisins de u.

Réponse

B · O(1)
4.Structures de données

Réponse: B · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif

Pourquoi c'est la réponse

Si l'un des bits d'un élément vaut 0, il est assurément absent ; si tous valent 1, il est probablement présent. Les filtres de Bloom sacrifient la précision au profit d'une très faible consommation de mémoire.

Réponse

B · Des faux positifs possibles mais aucun faux négatif
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Sommets impairs

D, E → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)BC = 0·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 1

Réponse

N = 1

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