Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que mesure l'analyse amortie ?

ALe coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas
BLe coût espéré sur des entrées aléatoires
CLe coût d'un algorithme sur la meilleure entrée
DLe coût de l'unique opération la plus chère, où qu'elle se trouve dans la suite

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

AQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
BLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
CLa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
DQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une liste d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets et E arêtes ?

AO(V + E)
BO(V × E)
CO(E²)
DO(V²)

4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

AIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
BIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
CIl déplace le nœud accédé vers une feuille
DIl recolorie les nœuds du chemin de recherche

5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 18 sommets et 20 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 18|E| = 20

k =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(D) du plus court chemin de A à D dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : D

d(D) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

Pourquoi c'est la réponse

L'analyse amortie répartit le coût des opérations rares et coûteuses sur de nombreuses opérations bon marché, ce qui donne une moyenne garantie pour toute suite.

Réponse

A · Le coût moyen par opération sur une suite d'opérations de pire cas

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

3.Structures de données

Réponse: A · O(V + E)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque sommet a une liste et chaque arête apparaît une fois (orienté) ou deux fois (non orienté), ce qui donne O(V + E).

Réponse

A · O(V + E)

4.Structures de données

Réponse: A · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

A · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

5.Théorie des graphes

Réponse: k = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

18 − 1 = 17

Arêtes à retirer

k = 20 − 17 = 3

Réponse

k = 3

6.Théorie des graphes

Réponse: d(D) = 4

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 1, C: 3

B (1): C: 2, D: 4, G: 11

C (2): G: 10

D (4): E: 19, F: 14

G (10)

F (14)

E (19)

Plus court chemin

A → B → D

d(D) = 4

Réponse

d(D) = 4

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